Математический анализ Примеры

$f (x) = a {(x - h)}^{2} + k$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(x - h)}^{2}$ в виде $(x - h) (x - h)$ .

$f (x) = a ((x - h) (x - h)) + k$

Этап 1.2

Развернем $(x - h) (x - h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = a (x (x - h) - h (x - h)) + k$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = a (x \cdot x + x (- h) - h (x - h)) + k$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = a (x \cdot x + x (- h) - h x - h (- h)) + k$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x) = a (x^{2} + x (- h) - h x - h (- h)) + k$

Этап 1.3.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x - h (- h)) + k$

Этап 1.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x - 1 \cdot (- 1 h \cdot h)) + k$

Этап 1.3.1.4

Умножим $h$ на $h$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.4.1

Перенесем $h$ .

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x - 1 \cdot (- 1 (h \cdot h))) + k$

Этап 1.3.1.4.2

Умножим $h$ на $h$ .

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x - 1 \cdot (- 1 h^{2})) + k$

Этап 1.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x + 1 h^{2}) + k$

Этап 1.3.1.6

Умножим $h^{2}$ на $1$ .

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x + h^{2}) + k$

Этап 1.3.2

Вычтем $h x$ из $- x h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Перенесем $x$ .

$f (x) = a (x^{2} - h x - h x + h^{2}) + k$

Этап 1.3.2.2

Вычтем $h x$ из $- h x$ .

$f (x) = a (x^{2} - 2 h x + h^{2}) + k$

Этап 1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = a x^{2} + a (- 2 h x) + a h^{2} + k$

Этап 1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (x) = a x^{2} - 2 a h x + a h^{2} + k$

Этап 2

Квадратичная функция достигает минимума в $x = - \frac{b}{2 a}$ . Если $a$ принимает положительные значения, то минимальным значением функции будет $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{минимум}$ $x = a x^{2} + b x + c$ входит в $x = - \frac{b}{2 a}$

Этап 3

Найдем значение $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим в значения $a$ и $b$ .

$x = - \frac{0}{2 (1)}$

Этап 3.2

Избавимся от скобок.

$x = - \frac{0}{2 (1)}$

Этап 3.3

Упростим $- \frac{0}{2 (1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$x = - \frac{2 (0)}{2 (1)}$

Этап 3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x = - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x = - \frac{0}{1}$

Этап 3.3.1.2.3

Разделим $0$ на $1$ .

$x = - 0$

Этап 3.3.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$x = 0$

Этап 4

Найдем значение $f (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = a {(0)}^{2} - 2 a h \cdot 0 + a h^{2} + k$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = a \cdot 0 - 2 a h \cdot 0 + a h^{2} + k$

Этап 4.2.1.2

Умножим $a$ на $0$ .

$f (0) = 0 - 2 a h \cdot 0 + a h^{2} + k$

Этап 4.2.1.3

Умножим $- 2 a h \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.1

Умножим $0$ на $- 2$ .

$f (0) = 0 + 0 a h + a h^{2} + k$

Этап 4.2.1.3.2

Умножим $0$ на $a$ .

$f (0) = 0 + 0 h + a h^{2} + k$

Этап 4.2.1.3.3

Умножим $0$ на $h$ .

$f (0) = 0 + 0 + a h^{2} + k$

Этап 4.2.2

Объединим противоположные члены в $0 + 0 + a h^{2} + k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 + a h^{2} + k$

Этап 4.2.2.2

Добавим $0$ и $a h^{2}$ .

$f (0) = a h^{2} + k$

Этап 4.2.3

Окончательный ответ: $a h^{2} + k$ .

$a h^{2} + k$

Этап 5

Используем значения $x$ и $y$ , чтобы найти, где достигается минимум.

$(0, a h^{2} + k)$

Этап 6