Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{x}{1 - \sqrt{1 - x}}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 1 - \sqrt{1 - x}}$

Этап 1.1.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \sqrt{1 - x}}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x}}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x}}$

Этап 1.1.3.3

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{0}{1 - \sqrt{lim_{x \to 0} 1 - x}}$

Этап 1.1.3.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{1 - \sqrt{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} x}}$

Этап 1.1.3.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{0}{1 - \sqrt{1 - lim_{x \to 0} x}}$

Этап 1.1.3.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{1 - \sqrt{1 + 0}}$

Этап 1.1.3.6.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.2.1.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{0}{1 - \sqrt{1}}$

Этап 1.1.3.6.2.1.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.6.2.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Этап 1.1.3.6.2.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.6.2.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.6.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.7

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{1 - \sqrt{1 - x}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{1 - x}]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{1 - x}]}$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{1 - x}]}$

Этап 1.3.3

По правилу суммы производная $1 - \sqrt{1 - x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]}$

Этап 1.3.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 - x}$ в виде ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 + \frac{d}{d x} [- {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]}$

Этап 1.3.5.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]}$

Этап 1.3.5.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x])}$

Этап 1.3.5.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x])}$

Этап 1.3.5.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x])}$

Этап 1.3.5.4

По правилу суммы производная $1 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]))}$

Этап 1.3.5.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x]))}$

Этап 1.3.5.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x]))}$

Этап 1.3.5.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))}$

Этап 1.3.5.8

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Этап 1.3.5.9

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Этап 1.3.5.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Этап 1.3.5.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.11.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Этап 1.3.5.11.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Этап 1.3.5.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Этап 1.3.5.13

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1))}$

Этап 1.3.5.14

Вычтем $1$ из $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1)}$

Этап 1.3.5.15

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1)}$

Этап 1.3.5.16

Объединим $\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2}}$

Этап 1.3.5.17

Перенесем $- 1$ влево от ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{- 1 \cdot {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Этап 1.3.5.18

Перепишем $- 1 {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ в виде $- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Этап 1.3.5.19

Перенесем ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{- 1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 1.3.5.20

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 1.3.5.21

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 + 1 \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 1.3.5.22

Умножим $\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 + \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 1.3.6

Добавим $0$ и $\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 0} 1 (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.5

Перепишем ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{1 - x}$ .

$lim_{x \to 0} 1 (2 \sqrt{1 - x})$

Этап 1.6

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} 2 \sqrt{1 - x}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x}$

Этап 2.2

Внесем предел под знак радикала.

$2 \sqrt{lim_{x \to 0} 1 - x}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$2 \sqrt{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$2 \sqrt{1 - lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$2 \sqrt{1 + 0}$

Этап 2.5.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Добавим $1$ и $0$ .

$2 \sqrt{1}$

Этап 2.5.2.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 2.5.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2$