Математический анализ Примеры

$y = \sqrt{2 - x^{2}}$ , $0 \leq x \leq 1$

Этап 1

Проверим непрерывность $f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы проверить непрерывность функции на промежутке $[0, 1]$ , найдем область определения $f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{2 - x^{2}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$2 - x^{2} \geq 0$

Этап 1.1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей неравенства.

$- x^{2} \geq - 2$

Этап 1.1.2.2

Разделим каждый член $- x^{2} \geq - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} \geq - 2$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Этап 1.1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Этап 1.1.2.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Этап 1.1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$x^{2} \leq 2$

Этап 1.1.2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{2}$

Этап 1.1.2.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \leq \sqrt{2}$

Этап 1.1.2.5

Запишем $| x | \leq \sqrt{2}$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 1.1.2.5.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x \leq \sqrt{2}$

Этап 1.1.2.5.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 1.1.2.5.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x \leq \sqrt{2}$

Этап 1.1.2.5.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

Этап 1.1.2.6

Найдем пересечение $x \leq \sqrt{2}$ и $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{2}$

Этап 1.1.2.7

Решим $- x \leq \sqrt{2}$ , когда $x < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1

Разделим каждый член $- x \leq \sqrt{2}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1.1

Разделим каждый член $- x \leq \sqrt{2}$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Этап 1.1.2.7.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Этап 1.1.2.7.1.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Этап 1.1.2.7.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\sqrt{2}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{2}$

Этап 1.1.2.7.1.3.2

Перепишем $- 1 \cdot \sqrt{2}$ в виде $- \sqrt{2}$ .

$x \geq - \sqrt{2}$

Этап 1.1.2.7.2

Найдем пересечение $x \geq - \sqrt{2}$ и $x < 0$ .

$- \sqrt{2} \leq x < 0$

Этап 1.1.2.8

Найдем объединение решений.

$- \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$

Этап 1.1.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

Обозначение построения множества:

${x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

Интервальное представление:

$[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

Обозначение построения множества:

${x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

Этап 1.2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, 1]$ .

Функция является непрерывной.

Этап 2

Проверим дифференцируемость $f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 - x^{2}}$ в виде ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 2 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Этап 2.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Этап 2.1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Этап 2.1.1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Этап 2.1.1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Этап 2.1.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Этап 2.1.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Этап 2.1.1.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Этап 2.1.1.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Этап 2.1.1.7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Этап 2.1.1.7.3

Перенесем ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Этап 2.1.1.8

По правилу суммы производная $2 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 2.1.1.9

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 2.1.1.10

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 2.1.1.11

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.1.1.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

Этап 2.1.1.13

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.13.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

Этап 2.1.1.13.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Этап 2.1.1.13.3

Объединим $\frac{- 2}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.1.13.4

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.1.14

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.14.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- x)}{2 ({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 2.1.1.14.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.1.14.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.1.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.2

Выясним, является ли производная непрерывной на $[0, 1]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы проверить непрерывность функции на промежутке $[0, 1]$ , найдем область определения $f' (x) = - \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$- \frac{x}{\sqrt{{(2 - x^{2})}^{1}}}$

Этап 2.2.1.1.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$- \frac{x}{\sqrt{2 - x^{2}}}$

Этап 2.2.1.2

$2 - x^{2} \geq 0$

Этап 2.2.1.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Вычтем $2$ из обеих частей неравенства.

$- x^{2} \geq - 2$

Этап 2.2.1.3.2

Разделим каждый член $- x^{2} \geq - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.2.1

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Этап 2.2.1.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Этап 2.2.1.3.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Этап 2.2.1.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.2.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$x^{2} \leq 2$

Этап 2.2.1.3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{2}$

Этап 2.2.1.3.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.4.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \leq \sqrt{2}$

Этап 2.2.1.3.5

Запишем $| x | \leq \sqrt{2}$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.5.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 2.2.1.3.5.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x \leq \sqrt{2}$

Этап 2.2.1.3.5.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 2.2.1.3.5.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x \leq \sqrt{2}$

Этап 2.2.1.3.5.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

Этап 2.2.1.3.6

Найдем пересечение $x \leq \sqrt{2}$ и $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{2}$

Этап 2.2.1.3.7

Решим $- x \leq \sqrt{2}$ , когда $x < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.7.1

Разделим каждый член $- x \leq \sqrt{2}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.7.1.1

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Этап 2.2.1.3.7.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.7.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Этап 2.2.1.3.7.1.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Этап 2.2.1.3.7.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.7.1.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\sqrt{2}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{2}$

Этап 2.2.1.3.7.1.3.2

Перепишем $- 1 \cdot \sqrt{2}$ в виде $- \sqrt{2}$ .

$x \geq - \sqrt{2}$

Этап 2.2.1.3.7.2

Найдем пересечение $x \geq - \sqrt{2}$ и $x < 0$ .

$- \sqrt{2} \leq x < 0$

Этап 2.2.1.3.8

Найдем объединение решений.

$- \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$

Этап 2.2.1.4

Зададим знаменатель в $\frac{x}{\sqrt{2 - x^{2}}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt{2 - x^{2}} = 0$

Этап 2.2.1.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.5.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{2 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Этап 2.2.1.5.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.5.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 - x^{2}}$ в виде ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 2.2.1.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.5.2.2.1

Упростим ${({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.5.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.5.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 2.2.1.5.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.5.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 2.2.1.5.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(2 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Этап 2.2.1.5.2.2.1.2

Упростим.

$2 - x^{2} = 0^{2}$

Этап 2.2.1.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.5.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$2 - x^{2} = 0$

Этап 2.2.1.5.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.5.3.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} = - 2$

Этап 2.2.1.5.3.2

Разделим каждый член $- x^{2} = - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.5.3.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} = - 2$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 2.2.1.5.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.5.3.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 2.2.1.5.3.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 2.2.1.5.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.5.3.2.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$x^{2} = 2$

Этап 2.2.1.5.3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{2}$

Этап 2.2.1.5.3.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.5.3.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{2}$

Этап 2.2.1.5.3.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{2}$

Этап 2.2.1.5.3.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 2.2.1.6

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \sqrt{2}, \sqrt{2})$

Обозначение построения множества:

${x | - \sqrt{2} < x < \sqrt{2}}$

Интервальное представление:

$(- \sqrt{2}, \sqrt{2})$

Обозначение построения множества:

${x | - \sqrt{2} < x < \sqrt{2}}$

Этап 2.2.2

$f' (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, 1]$ .

Функция является непрерывной.

Этап 2.3

Функция является дифференцируемой на $[0, 1]$ , поскольку производная является непрерывной на $[0, 1]$ .

Функция является дифференцируемой.

Этап 3

Для нахождения длины дуги необходима непрерывность функции и ее производной на отрезке $[0, 1]$ .

Функция и ее производная являются непрерывными на замкнутом интервале $[0, 1]$ .

Этап 4

Найдем производную $f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 - x^{2}}$ в виде ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Этап 4.2.2

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Этап 4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Этап 4.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Этап 4.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Этап 4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Этап 4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Этап 4.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Этап 4.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Этап 4.7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Этап 4.7.3

Перенесем ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Этап 4.8

По правилу суммы производная $2 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 4.9

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 4.10

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 4.11

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

Этап 4.13

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

Этап 4.13.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Этап 4.13.3

Объединим $\frac{- 2}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.13.4

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.14

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- x)}{2 ({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 4.14.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.14.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5

Чтобы найти длину дуги графика функции, воспользуемся формулой $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{0}^{1} \sqrt{1 + {(- \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}} d x$

Этап 6