Математический анализ Примеры

$\frac{d^{2}}{d x^{2}} (\sin (x) + \cos (x))$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Сократим общий множитель $d^{2}$ и $d$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $d$ из $d^{2}$ .

$\frac{d}{d \cdot d} [\frac{d \cdot d}{d x^{2}} (\sin (x) + \cos (x))]$

Этап 1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вынесем множитель $d$ из $d x^{2}$ .

$\frac{d}{d \cdot d} [\frac{d \cdot d}{d (x^{2})} (\sin (x) + \cos (x))]$

Этап 1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d}{d \cdot d} [\frac{d \cdot d}{d x^{2}} (\sin (x) + \cos (x))]$

Этап 1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d}{d \cdot d} [\frac{d}{x^{2}} (\sin (x) + \cos (x))]$

Этап 1.2

Поскольку $\sin (x) + \cos (x)$ является константой относительно $d$ , производная $\frac{d}{x^{2}} (\sin (x) + \cos (x))$ по $d$ равна $(\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d \cdot d} [\frac{d}{x^{2}}]$ .

$(\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d \cdot d} [\frac{d}{x^{2}}]$

Этап 1.3

Поскольку $\frac{1}{x^{2}}$ является константой относительно $d$ , производная $\frac{d}{x^{2}}$ по $d$ равна $\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d \cdot d} [d]$ .

$(\sin (x) + \cos (x)) (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d \cdot d} [d])$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d \cdot d} [d^{n}]$ имеет вид $n d^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(\sin (x) + \cos (x)) \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

Этап 1.5

Умножим $\sin (x) + \cos (x)$ на $1$ .

$(\sin (x) + \cos (x)) \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (x) \frac{1}{x^{2}} + \cos (x) \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.6.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Объединим $\sin (x)$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\sin (x)}{x^{2}} + \cos (x) \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.6.2.2

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (d) = \frac{\sin (x)}{x^{2}} + \frac{\cos (x)}{x^{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\frac{\sin (x)}{x^{2}} + \frac{\cos (x)}{x^{2}}$ по $d$ имеет вид $\frac{d}{d \cdot d} [\frac{\sin (x)}{x^{2}}] + \frac{d}{d \cdot d} [\frac{\cos (x)}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d \cdot d} [\frac{\sin (x)}{x^{2}}] + \frac{d}{d \cdot d} [\frac{\cos (x)}{x^{2}}]$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{\sin (x)}{x^{2}}$ является константой относительно $d$ , производная $\frac{\sin (x)}{x^{2}}$ относительно $d$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d \cdot d} [\frac{\cos (x)}{x^{2}}]$

Этап 2.3

Поскольку $\frac{\cos (x)}{x^{2}}$ является константой относительно $d$ , производная $\frac{\cos (x)}{x^{2}}$ относительно $d$ равна $0$ .

$0 + 0$

Этап 2.4

Добавим $0$ и $0$ .

$f'' (d) = 0$