Математический анализ Примеры

${(x - y)}^{2} = x + y - 1$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} ({(x - y)}^{2}) = \frac{d}{d x} (x + y - 1)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(x - y)}^{2}$ в виде $(x - y) (x - y)$ .

$\frac{d}{d x} [(x - y) (x - y)]$

Этап 2.2

Развернем $(x - y) (x - y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x (x - y) - y (x - y)]$

Этап 2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x (- y) - y (x - y)]$

Этап 2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)]$

Этап 2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)]$

Этап 2.3.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d}{d x} [x^{2} - x y - y x - y (- y)]$

Этап 2.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d}{d x} [x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y]$

Этап 2.3.1.4

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.1

Перенесем $y$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)]$

Этап 2.3.1.4.2

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}]$

Этап 2.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}]$

Этап 2.3.1.6

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - x y - y x + y^{2}]$

Этап 2.3.2

Вычтем $y x$ из $- x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Перенесем $y$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}]$

Этап 2.3.2.2

Вычтем $x y$ из $- x y$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x y + y^{2}]$

Этап 2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 2 x y + y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.4.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x y$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x - 2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$2 x - 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.6

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x - 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.7

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x - 2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.7.2

Умножим $y$ на $1$ .

$2 x - 2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$2 x - 2 (x y' + y) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x - 2 (x y' + y) + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.8.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$2 x - 2 (x y' + y) + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.9

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x - 2 (x y' + y) + 2 y y'$

Этап 2.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x - 2 (x y') - 2 y + 2 y y'$

Этап 2.10.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 x - 2 x y' - 2 y + 2 y y'$

Этап 2.10.3

Изменим порядок членов.

$- 2 x y' + 2 y y' + 2 x - 2 y$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x + y - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$1 + y' + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + y' + 0$

Этап 3.5

Добавим $1 + y'$ и $0$ .

$1 + y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- 2 x y' + 2 y y' + 2 x - 2 y = 1 + y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $y'$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x y' + 2 y y' + 2 x - 2 y - y' = 1$

Этап 5.2

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x y' + 2 y y' - 2 y - y' = 1 - 2 x$

Этап 5.2.2

Добавим $2 y$ к обеим частям уравнения.

$- 2 x y' + 2 y y' - y' = 1 - 2 x + 2 y$

Этап 5.3

Вынесем множитель $y'$ из $- 2 x y' + 2 y y' - y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $y'$ из $- 2 x y'$ .

$y' (- 2 x) + 2 y y' - y' = 1 - 2 x + 2 y$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $y'$ из $2 y y'$ .

$y' (- 2 x) + y' (2 y) - y' = 1 - 2 x + 2 y$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $y'$ из $- y'$ .

$y' (- 2 x) + y' (2 y) + y' \cdot - 1 = 1 - 2 x + 2 y$

Этап 5.3.4

Вынесем множитель $y'$ из $y' (- 2 x) + y' (2 y)$ .

$y' (- 2 x + 2 y) + y' \cdot - 1 = 1 - 2 x + 2 y$

Этап 5.3.5

Вынесем множитель $y'$ из $y' (- 2 x + 2 y) + y' \cdot - 1$ .

$y' (- 2 x + 2 y - 1) = 1 - 2 x + 2 y$

Этап 5.4

Разделим каждый член $y' (- 2 x + 2 y - 1) = 1 - 2 x + 2 y$ на $- 2 x + 2 y - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $y' (- 2 x + 2 y - 1) = 1 - 2 x + 2 y$ на $- 2 x + 2 y - 1$ .

$\frac{y' (- 2 x + 2 y - 1)}{- 2 x + 2 y - 1} = \frac{1}{- 2 x + 2 y - 1} + \frac{- 2 x}{- 2 x + 2 y - 1} + \frac{2 y}{- 2 x + 2 y - 1}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $- 2 x + 2 y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (- 2 x + 2 y - 1)}{- 2 x + 2 y - 1} = \frac{1}{- 2 x + 2 y - 1} + \frac{- 2 x}{- 2 x + 2 y - 1} + \frac{2 y}{- 2 x + 2 y - 1}$

Этап 5.4.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{1}{- 2 x + 2 y - 1} + \frac{- 2 x}{- 2 x + 2 y - 1} + \frac{2 y}{- 2 x + 2 y - 1}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{1}{- 2 x + 2 y - 1} - \frac{2 x}{- 2 x + 2 y - 1} + \frac{2 y}{- 2 x + 2 y - 1}$

Этап 5.4.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{1 - 2 x}{- 2 x + 2 y - 1} + \frac{2 y}{- 2 x + 2 y - 1}$

Этап 5.4.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{1 - 2 x + 2 y}{- 2 x + 2 y - 1}$

Этап 5.4.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$y' = \frac{1 - 2 x + 2 y}{- (2 x) + 2 y - 1}$

Этап 5.4.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $2 y$ .

$y' = \frac{1 - 2 x + 2 y}{- (2 x) - (- 2 y) - 1}$

Этап 5.4.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x) - (- 2 y)$ .

$y' = \frac{1 - 2 x + 2 y}{- (2 x - 2 y) - 1}$

Этап 5.4.3.7

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{1 - 2 x + 2 y}{- (2 x - 2 y) - 1 (1)}$

Этап 5.4.3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x - 2 y) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{1 - 2 x + 2 y}{- (2 x - 2 y + 1)}$

Этап 5.4.3.9

Перепишем отрицательные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.9.1

Перепишем $- (2 x - 2 y + 1)$ в виде $- 1 (2 x - 2 y + 1)$ .

$y' = \frac{1 - 2 x + 2 y}{- 1 (2 x - 2 y + 1)}$

Этап 5.4.3.9.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{1 - 2 x + 2 y}{2 x - 2 y + 1}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 - 2 x + 2 y}{2 x - 2 y + 1}$