Математический анализ Примеры

$\int_{- 4}^{1} (3 x + 6) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{- 4}^{1} 3 x + 6 d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 4}^{1} 3 x d x + \int_{- 4}^{1} 6 d x$

Этап 3

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int_{- 4}^{1} x d x + \int_{- 4}^{1} 6 d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{1}) + \int_{- 4}^{1} 6 d x$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{1}) + \int_{- 4}^{1} 6 d x$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{1}) + 6 x]_{- 4}^{1}$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $1$ и в $- 4$ .

$3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 6 x]_{- 4}^{1}$

Этап 7.2

Найдем значение $6 x$ в $1$ и в $- 4$ .

$3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 6 \cdot 1 - 6 \cdot - 4$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 6 \cdot 1 - 6 \cdot - 4$

Этап 7.3.2

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$3 (\frac{1}{2} - \frac{16}{2}) + 6 \cdot 1 - 6 \cdot - 4$

Этап 7.3.3

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 8}{2}) + 6 \cdot 1 - 6 \cdot - 4$

Этап 7.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)}) + 6 \cdot 1 - 6 \cdot - 4$

Этап 7.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1}) + 6 \cdot 1 - 6 \cdot - 4$

Этап 7.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{8}{1}) + 6 \cdot 1 - 6 \cdot - 4$

Этап 7.3.3.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$3 (\frac{1}{2} - 1 \cdot 8) + 6 \cdot 1 - 6 \cdot - 4$

Этап 7.3.4

Умножим $- 1$ на $8$ .

$3 (\frac{1}{2} - 8) + 6 \cdot 1 - 6 \cdot - 4$

Этап 7.3.5

Чтобы записать $- 8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} - 8 \cdot \frac{2}{2}) + 6 \cdot 1 - 6 \cdot - 4$

Этап 7.3.6

Объединим $- 8$ и $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} + \frac{- 8 \cdot 2}{2}) + 6 \cdot 1 - 6 \cdot - 4$

Этап 7.3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 \frac{1 - 8 \cdot 2}{2} + 6 \cdot 1 - 6 \cdot - 4$

Этап 7.3.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.8.1

Умножим $- 8$ на $2$ .

$3 \frac{1 - 16}{2} + 6 \cdot 1 - 6 \cdot - 4$

Этап 7.3.8.2

Вычтем $16$ из $1$ .

$3 (\frac{- 15}{2}) + 6 \cdot 1 - 6 \cdot - 4$

Этап 7.3.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 (- \frac{15}{2}) + 6 \cdot 1 - 6 \cdot - 4$

Этап 7.3.10

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 (\frac{15}{2}) + 6 \cdot 1 - 6 \cdot - 4$

Этап 7.3.11

Объединим $- 3$ и $\frac{15}{2}$ .

$\frac{- 3 \cdot 15}{2} + 6 \cdot 1 - 6 \cdot - 4$

Этап 7.3.12

Умножим $- 3$ на $15$ .

$\frac{- 45}{2} + 6 \cdot 1 - 6 \cdot - 4$

Этап 7.3.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{45}{2} + 6 \cdot 1 - 6 \cdot - 4$

Этап 7.3.14

Умножим $6$ на $1$ .

$- \frac{45}{2} + 6 - 6 \cdot - 4$

Этап 7.3.15

Умножим $- 6$ на $- 4$ .

$- \frac{45}{2} + 6 + 24$

Этап 7.3.16

Добавим $6$ и $24$ .

$- \frac{45}{2} + 30$

Этап 7.3.17

Чтобы записать $30$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{45}{2} + 30 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 7.3.18

Объединим $30$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{45}{2} + \frac{30 \cdot 2}{2}$

Этап 7.3.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 45 + 30 \cdot 2}{2}$

Этап 7.3.20

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.20.1

Умножим $30$ на $2$ .

$\frac{- 45 + 60}{2}$

Этап 7.3.20.2

Добавим $- 45$ и $60$ .

$\frac{15}{2}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{15}{2}$

Десятичная форма:

$7.5$

Форма смешанных чисел:

$7 \frac{1}{2}$

Этап 9