Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{3} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{3}}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{1}^{3} \frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{3}} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{3} \frac{1}{x^{2}} d x + \int_{1}^{3} - \frac{6}{x^{3}} d x$

Этап 3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int_{1}^{3} {(x^{2})}^{- 1} d x + \int_{1}^{3} - \frac{6}{x^{3}} d x$

Этап 3.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{3} x^{2 \cdot - 1} d x + \int_{1}^{3} - \frac{6}{x^{3}} d x$

Этап 3.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int_{1}^{3} x^{- 2} d x + \int_{1}^{3} - \frac{6}{x^{3}} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - \frac{6}{x^{3}} d x$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- x^{- 1}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{6}{x^{3}} d x$

Этап 6

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$- x^{- 1}]_{1}^{3} - (6 \int_{1}^{3} \frac{1}{x^{3}} d x)$

Этап 7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $6$ на $- 1$ .

$- x^{- 1}]_{1}^{3} - 6 \int_{1}^{3} \frac{1}{x^{3}} d x$

Этап 7.2

Вынесем $x^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- x^{- 1}]_{1}^{3} - 6 \int_{1}^{3} {(x^{3})}^{- 1} d x$

Этап 7.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{- 1}]_{1}^{3} - 6 \int_{1}^{3} x^{3 \cdot - 1} d x$

Этап 7.3.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- x^{- 1}]_{1}^{3} - 6 \int_{1}^{3} x^{- 3} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- x^{- 1}]_{1}^{3} - 6 (- \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{3})$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Объединим $x^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$- x^{- 1}]_{1}^{3} - 6 (- \frac{x^{- 2}}{2}]_{1}^{3})$

Этап 9.1.2

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x^{- 1}]_{1}^{3} - 6 (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{3})$

Этап 9.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Найдем значение $- x^{- 1}$ в $3$ и в $1$ .

$(- 3^{- 1}) + 1^{- 1} - 6 (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{3})$

Этап 9.2.2

Найдем значение $- \frac{1}{2 x^{2}}$ в $3$ и в $1$ .

$(- 3^{- 1}) + 1^{- 1} - 6 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Этап 9.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{3} + 1^{- 1} - 6 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Этап 9.2.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{1}{3} + 1 - 6 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Этап 9.2.3.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \frac{1}{3} + \frac{3}{3} - 6 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Этап 9.2.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 1 + 3}{3} - 6 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Этап 9.2.3.5

Добавим $- 1$ и $3$ .

$\frac{2}{3} - 6 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Этап 9.2.3.6

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{2}{3} - 6 (- \frac{1}{2 \cdot 9} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Этап 9.2.3.7

Умножим $2$ на $9$ .

$\frac{2}{3} - 6 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Этап 9.2.3.8

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{2}{3} - 6 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2 \cdot 1})$

Этап 9.2.3.9

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2}{3} - 6 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2})$

Этап 9.2.3.10

Чтобы записать $\frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{2}{3} - 6 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{9})$

Этап 9.2.3.11

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $18$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.11.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{2}{3} - 6 (- \frac{1}{18} + \frac{9}{2 \cdot 9})$

Этап 9.2.3.11.2

Умножим $2$ на $9$ .

$\frac{2}{3} - 6 (- \frac{1}{18} + \frac{9}{18})$

Этап 9.2.3.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2}{3} - 6 \frac{- 1 + 9}{18}$

Этап 9.2.3.13

Добавим $- 1$ и $9$ .

$\frac{2}{3} - 6 (\frac{8}{18})$

Этап 9.2.3.14

Сократим общий множитель $8$ и $18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.14.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{2}{3} - 6 \frac{2 (4)}{18}$

Этап 9.2.3.14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.14.2.1

Вынесем множитель $2$ из $18$ .

$\frac{2}{3} - 6 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 9}$

Этап 9.2.3.14.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{3} - 6 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 9}$

Этап 9.2.3.14.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{3} - 6 (\frac{4}{9})$

Этап 9.2.3.15

Объединим $- 6$ и $\frac{4}{9}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{- 6 \cdot 4}{9}$

Этап 9.2.3.16

Умножим $- 6$ на $4$ .

$\frac{2}{3} + \frac{- 24}{9}$

Этап 9.2.3.17

Сократим общий множитель $- 24$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.17.1

Вынесем множитель $3$ из $- 24$ .

$\frac{2}{3} + \frac{3 (- 8)}{9}$

Этап 9.2.3.17.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.17.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\frac{2}{3} + \frac{3 \cdot - 8}{3 \cdot 3}$

Этап 9.2.3.17.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{3} + \frac{3 \cdot - 8}{3 \cdot 3}$

Этап 9.2.3.17.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{3} + \frac{- 8}{3}$

Этап 9.2.3.18

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2}{3} - \frac{8}{3}$

Этап 9.2.3.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 - 8}{3}$

Этап 9.2.3.20

Вычтем $8$ из $2$ .

$\frac{- 6}{3}$

Этап 9.2.3.21

Сократим общий множитель $- 6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.21.1

Вынесем множитель $3$ из $- 6$ .

$\frac{3 \cdot - 2}{3}$

Этап 9.2.3.21.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.21.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot - 2}{3 (1)}$

Этап 9.2.3.21.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1}$

Этап 9.2.3.21.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2}{1}$

Этап 9.2.3.21.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$- 2$

Этап 10