Математический анализ Примеры

${(x + 1)}^{3} - x^{3}$

Этап 1

По правилу суммы производная ${(x + 1)}^{3} - x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$3 {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 {(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 {(x + 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 2.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 {(x + 1)}^{2} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 2.5

Добавим $1$ и $0$ .

$3 {(x + 1)}^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 2.6

Умножим $3$ на $1$ .

$3 {(x + 1)}^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 {(x + 1)}^{2} - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 {(x + 1)}^{2} - (3 x^{2})$

Этап 3.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$3 {(x + 1)}^{2} - 3 x^{2}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок членов.

$- 3 x^{2} + 3 {(x + 1)}^{2}$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем ${(x + 1)}^{2}$ в виде $(x + 1) (x + 1)$ .

$- 3 x^{2} + 3 ((x + 1) (x + 1))$

Этап 4.2.2

Развернем $(x + 1) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 3 x^{2} + 3 (x (x + 1) + 1 (x + 1))$

Этап 4.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 3 x^{2} + 3 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))$

Этап 4.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 3 x^{2} + 3 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Этап 4.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$- 3 x^{2} + 3 (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Этап 4.2.3.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$- 3 x^{2} + 3 (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)$

Этап 4.2.3.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$- 3 x^{2} + 3 (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)$

Этап 4.2.3.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$- 3 x^{2} + 3 (x^{2} + x + x + 1)$

Этап 4.2.3.2

Добавим $x$ и $x$ .

$- 3 x^{2} + 3 (x^{2} + 2 x + 1)$

Этап 4.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- 3 x^{2} + 3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 1$

Этап 4.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Умножим $2$ на $3$ .

$- 3 x^{2} + 3 x^{2} + 6 x + 3 \cdot 1$

Этап 4.2.5.2

Умножим $3$ на $1$ .

$- 3 x^{2} + 3 x^{2} + 6 x + 3$

Этап 4.3

Добавим $- 3 x^{2}$ и $3 x^{2}$ .

$0 + 6 x + 3$

Этап 4.4

Добавим $0$ и $6 x$ .

$6 x + 3$