Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{4} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{8}{x^{3}}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{1}^{4} \frac{1}{x^{2}} - \frac{8}{x^{3}} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{4} \frac{1}{x^{2}} d x + \int_{1}^{4} - \frac{8}{x^{3}} d x$

Этап 3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int_{1}^{4} {(x^{2})}^{- 1} d x + \int_{1}^{4} - \frac{8}{x^{3}} d x$

Этап 3.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{4} x^{2 \cdot - 1} d x + \int_{1}^{4} - \frac{8}{x^{3}} d x$

Этап 3.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int_{1}^{4} x^{- 2} d x + \int_{1}^{4} - \frac{8}{x^{3}} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} - \frac{8}{x^{3}} d x$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- x^{- 1}]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} \frac{8}{x^{3}} d x$

Этап 6

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$- x^{- 1}]_{1}^{4} - (8 \int_{1}^{4} \frac{1}{x^{3}} d x)$

Этап 7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $8$ на $- 1$ .

$- x^{- 1}]_{1}^{4} - 8 \int_{1}^{4} \frac{1}{x^{3}} d x$

Этап 7.2

Вынесем $x^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- x^{- 1}]_{1}^{4} - 8 \int_{1}^{4} {(x^{3})}^{- 1} d x$

Этап 7.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{- 1}]_{1}^{4} - 8 \int_{1}^{4} x^{3 \cdot - 1} d x$

Этап 7.3.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- x^{- 1}]_{1}^{4} - 8 \int_{1}^{4} x^{- 3} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- x^{- 1}]_{1}^{4} - 8 (- \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{4})$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Объединим $x^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$- x^{- 1}]_{1}^{4} - 8 (- \frac{x^{- 2}}{2}]_{1}^{4})$

Этап 9.1.2

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x^{- 1}]_{1}^{4} - 8 (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{4})$

Этап 9.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Найдем значение $- x^{- 1}$ в $4$ и в $1$ .

$(- 4^{- 1}) + 1^{- 1} - 8 (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{4})$

Этап 9.2.2

Найдем значение $- \frac{1}{2 x^{2}}$ в $4$ и в $1$ .

$(- 4^{- 1}) + 1^{- 1} - 8 ((- \frac{1}{2 \cdot 4^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Этап 9.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{4} + 1^{- 1} - 8 ((- \frac{1}{2 \cdot 4^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Этап 9.2.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{1}{4} + 1 - 8 ((- \frac{1}{2 \cdot 4^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Этап 9.2.3.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \frac{1}{4} + \frac{4}{4} - 8 ((- \frac{1}{2 \cdot 4^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Этап 9.2.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 1 + 4}{4} - 8 ((- \frac{1}{2 \cdot 4^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Этап 9.2.3.5

Добавим $- 1$ и $4$ .

$\frac{3}{4} - 8 ((- \frac{1}{2 \cdot 4^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Этап 9.2.3.6

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{3}{4} - 8 (- \frac{1}{2 \cdot 16} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Этап 9.2.3.7

Умножим $2$ на $16$ .

$\frac{3}{4} - 8 (- \frac{1}{32} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Этап 9.2.3.8

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{3}{4} - 8 (- \frac{1}{32} + \frac{1}{2 \cdot 1})$

Этап 9.2.3.9

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{3}{4} - 8 (- \frac{1}{32} + \frac{1}{2})$

Этап 9.2.3.10

Чтобы записать $\frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{16}{16}$ .

$\frac{3}{4} - 8 (- \frac{1}{32} + \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{16})$

Этап 9.2.3.11

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $32$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.11.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{16}{16}$ .

$\frac{3}{4} - 8 (- \frac{1}{32} + \frac{16}{2 \cdot 16})$

Этап 9.2.3.11.2

Умножим $2$ на $16$ .

$\frac{3}{4} - 8 (- \frac{1}{32} + \frac{16}{32})$

Этап 9.2.3.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3}{4} - 8 \frac{- 1 + 16}{32}$

Этап 9.2.3.13

Добавим $- 1$ и $16$ .

$\frac{3}{4} - 8 (\frac{15}{32})$

Этап 9.2.3.14

Объединим $- 8$ и $\frac{15}{32}$ .

$\frac{3}{4} + \frac{- 8 \cdot 15}{32}$

Этап 9.2.3.15

Умножим $- 8$ на $15$ .

$\frac{3}{4} + \frac{- 120}{32}$

Этап 9.2.3.16

Сократим общий множитель $- 120$ и $32$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.16.1

Вынесем множитель $8$ из $- 120$ .

$\frac{3}{4} + \frac{8 (- 15)}{32}$

Этап 9.2.3.16.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.16.2.1

Вынесем множитель $8$ из $32$ .

$\frac{3}{4} + \frac{8 \cdot - 15}{8 \cdot 4}$

Этап 9.2.3.16.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{4} + \frac{8 \cdot - 15}{8 \cdot 4}$

Этап 9.2.3.16.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{4} + \frac{- 15}{4}$

Этап 9.2.3.17

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3}{4} - \frac{15}{4}$

Этап 9.2.3.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 - 15}{4}$

Этап 9.2.3.19

Вычтем $15$ из $3$ .

$\frac{- 12}{4}$

Этап 9.2.3.20

Сократим общий множитель $- 12$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.20.1

Вынесем множитель $4$ из $- 12$ .

$\frac{4 \cdot - 3}{4}$

Этап 9.2.3.20.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.20.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 \cdot - 3}{4 (1)}$

Этап 9.2.3.20.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 1}$

Этап 9.2.3.20.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 3}{1}$

Этап 9.2.3.20.2.4

Разделим $- 3$ на $1$ .

$- 3$

Этап 10