Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{49} \frac{1}{\sqrt[3]{{(27 + 2 x)}^{2}}} d x$

Этап 1

Пусть $u = 27 + 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 27 + 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $27 + 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [27 + 2 x]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $27 + 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [27] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [27] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $27$ является константой относительно $x$ , производная $27$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$0 + 2$

Этап 1.1.4

Добавим $0$ и $2$ .

$2$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 27 + 2 x$ .

$u_{lower} = 27 + 2 \cdot 0$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $2$ на $0$ .

$u_{lower} = 27 + 0$

Этап 1.3.2

Добавим $27$ и $0$ .

$u_{lower} = 27$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 27 + 2 x$ .

$u_{upper} = 27 + 2 \cdot 49$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $2$ на $49$ .

$u_{upper} = 27 + 98$

Этап 1.5.2

Добавим $27$ и $98$ .

$u_{upper} = 125$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 27$

$u_{upper} = 125$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{27}^{125} \frac{1}{\sqrt[3]{u^{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt[3]{u^{2}}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int_{27}^{125} \frac{1}{\sqrt[3]{u^{2}} \cdot 2} d u$

Этап 2.2

Перенесем $2$ влево от $\sqrt[3]{u^{2}}$ .

$\int_{27}^{125} \frac{1}{2 \sqrt[3]{u^{2}}} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int_{27}^{125} \frac{1}{\sqrt[3]{u^{2}}} d u$

Этап 4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{u^{2}}$ в виде $u^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{27}^{125} \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Этап 4.2

Вынесем $u^{\frac{2}{3}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{2} \int_{27}^{125} {(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d u$

Этап 4.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{27}^{125} u^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d u$

Этап 4.3.2

Умножим $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{27}^{125} u^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d u$

Этап 4.3.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{27}^{125} u^{\frac{- 2}{3}} d u$

Этап 4.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} \int_{27}^{125} u^{- \frac{2}{3}} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{2}{3}}$ по $u$ имеет вид $3 u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{2} 3 u^{\frac{1}{3}}]_{27}^{125}$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $3 u^{\frac{1}{3}}$ в $125$ и в $27$ .

$\frac{1}{2} ((3 \cdot 125^{\frac{1}{3}}) - 3 \cdot 27^{\frac{1}{3}})$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перепишем $125$ в виде $5^{3}$ .

$\frac{1}{2} (3 \cdot {(5^{3})}^{\frac{1}{3}} - 3 \cdot 27^{\frac{1}{3}})$

Этап 6.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (3 \cdot 5^{3 (\frac{1}{3})} - 3 \cdot 27^{\frac{1}{3}})$

Этап 6.2.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (3 \cdot 5^{3 (\frac{1}{3})} - 3 \cdot 27^{\frac{1}{3}})$

Этап 6.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (3 \cdot 5^{1} - 3 \cdot 27^{\frac{1}{3}})$

Этап 6.2.4

Найдем экспоненту.

$\frac{1}{2} (3 \cdot 5 - 3 \cdot 27^{\frac{1}{3}})$

Этап 6.2.5

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{1}{2} (15 - 3 \cdot 27^{\frac{1}{3}})$

Этап 6.2.6

Перепишем $27$ в виде $3^{3}$ .

$\frac{1}{2} (15 - 3 \cdot {(3^{3})}^{\frac{1}{3}})$

Этап 6.2.7

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (15 - 3 \cdot 3^{3 (\frac{1}{3})})$

Этап 6.2.8

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (15 - 3 \cdot 3^{3 (\frac{1}{3})})$

Этап 6.2.8.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (15 - 3 \cdot 3^{1})$

Этап 6.2.9

Найдем экспоненту.

$\frac{1}{2} (15 - 3 \cdot 3)$

Этап 6.2.10

Умножим $- 3$ на $3$ .

$\frac{1}{2} (15 - 9)$

Этап 6.2.11

Вычтем $9$ из $15$ .

$\frac{1}{2} \cdot 6$

Этап 6.2.12

Объединим $\frac{1}{2}$ и $6$ .

$\frac{6}{2}$

Этап 6.2.13

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.13.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2}$

Этап 6.2.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.13.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}$

Этап 6.2.13.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.13.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{1}$

Этап 6.2.13.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 7