Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) + 3 e^{x}}{2 e^{x}}$

Этап 1

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) + 3 e^{x}}{e^{x}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (x) + 3 e^{x}}{lim_{x \to 0} e^{x}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} 3 e^{x}}{lim_{x \to 0} e^{x}}$

Этап 4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 3 e^{x}}{lim_{x \to 0} e^{x}}$

Этап 5

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x) + 3 lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} e^{x}}$

Этап 6

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x) + 3 e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} e^{x}}$

Этап 7

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x) + 3 e^{lim_{x \to 0} x}}{e^{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 8

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0) + 3 e^{lim_{x \to 0} x}}{e^{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0) + 3 e^{0}}{e^{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 8.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0) + 3 e^{0}}{e^{0}}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + 3 e^{0}}{e^{0}}$

Этап 9.1.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + 3 \cdot 1}{e^{0}}$

Этап 9.1.3

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + 3}{e^{0}}$

Этап 9.1.4

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{e^{0}}$

Этап 9.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{1}$

Этап 9.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (2)}{1}$

Этап 9.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2}{1}$

Этап 9.3.3

Перепишем это выражение.

$2$