Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\sqrt{4 x^{2} + 3} - 2}{2 x - 1}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} \sqrt{4 x^{2} + 3} - 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} \sqrt{4 x^{2} + 3} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Этап 1.1.2.1.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} + 3} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Этап 1.1.2.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} 3} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Этап 1.1.2.1.4

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} 3} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Этап 1.1.2.1.5

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sqrt{4 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} 3} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Этап 1.1.2.1.6

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{4 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + 3} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Этап 1.1.2.1.7

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{4 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + 3} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{1}{2}$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{4 {(\frac{1}{2})}^{2} + 3} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{4 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 3} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{\sqrt{4 \frac{1}{2^{2}} + 3} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Этап 1.1.2.3.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{4 (\frac{1}{4}) + 3} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Этап 1.1.2.3.1.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{4 (\frac{1}{4}) + 3} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Этап 1.1.2.3.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{1 + 3} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Этап 1.1.2.3.1.5

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{\sqrt{4} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Этап 1.1.2.3.1.6

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Этап 1.1.2.3.1.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Этап 1.1.2.3.1.8

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

Этап 1.1.3.1.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

Этап 1.1.3.1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{1}{2}$ для $x$ .

$\frac{0}{2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0}{2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\sqrt{4 x^{2} + 3} - 2}{2 x - 1} = lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x^{2} + 3} - 2]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x^{2} + 3} - 2]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $\sqrt{4 x^{2} + 3} - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x^{2} + 3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x^{2} + 3}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x^{2} + 3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{4 x^{2} + 3}$ в виде ${(4 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [{(4 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 4 x^{2} + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x^{2} + 3$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 3] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Этап 1.3.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 3] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Этап 1.3.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x^{2} + 3$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{1}{2} {(4 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 3] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Этап 1.3.3.3

По правилу суммы производная $4 x^{2} + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{1}{2} {(4 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Этап 1.3.3.4

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{1}{2} {(4 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Этап 1.3.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{1}{2} {(4 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Этап 1.3.3.6

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{1}{2} {(4 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 (2 x) + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Этап 1.3.3.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{1}{2} {(4 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (4 (2 x) + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Этап 1.3.3.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{1}{2} {(4 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (4 (2 x) + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Этап 1.3.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{1}{2} {(4 x^{2} + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (4 (2 x) + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Этап 1.3.3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{1}{2} {(4 x^{2} + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} (4 (2 x) + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Этап 1.3.3.10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{1}{2} {(4 x^{2} + 3)}^{\frac{- 1}{2}} (4 (2 x) + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Этап 1.3.3.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{1}{2} {(4 x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}} (4 (2 x) + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Этап 1.3.3.12

Умножим $2$ на $4$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{1}{2} {(4 x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}} (8 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Этап 1.3.3.13

Добавим $8 x$ и $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{1}{2} {(4 x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}} (8 x) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Этап 1.3.3.14

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(4 x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{{(4 x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (8 x) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Этап 1.3.3.15

Объединим $8$ и $\frac{{(4 x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{8 {(4 x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} x + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Этап 1.3.3.16

Объединим $\frac{8 {(4 x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $x$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{8 {(4 x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}} x}{2} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Этап 1.3.3.17

Перенесем ${(4 x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{8 x}{2 {(4 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Этап 1.3.3.18

Вынесем множитель $2$ из $8 x$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 (4 x)}{2 {(4 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Этап 1.3.3.19

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.19.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(4 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 (4 x)}{2 ({(4 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Этап 1.3.3.19.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 (4 x)}{2 {(4 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Этап 1.3.3.19.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{4 x}{{(4 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{4 x}{{(4 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Этап 1.3.5

Добавим $\frac{4 x}{{(4 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{4 x}{{(4 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $2 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{4 x}{{(4 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 1.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{4 x}{{(4 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 1.3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{4 x}{{(4 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 1.3.7.3

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{4 x}{{(4 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 1.3.8

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{4 x}{{(4 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 + 0}$

Этап 1.3.9

Добавим $2$ и $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{4 x}{{(4 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 1.5

Перепишем ${(4 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{4 x^{2} + 3}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x}{\sqrt{4 x^{2} + 3}} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 1.6

Умножим $\frac{4 x}{\sqrt{4 x^{2} + 3}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x}{\sqrt{4 x^{2} + 3} \cdot 2}$

Этап 1.7

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (2 x)}{\sqrt{4 x^{2} + 3} \cdot 2}$

Этап 1.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $\sqrt{4 x^{2} + 3} \cdot 2$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (2 x)}{2 \cdot \sqrt{4 x^{2} + 3}}$

Этап 1.7.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (2 x)}{2 \cdot \sqrt{4 x^{2} + 3}}$

Этап 1.7.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 x}{\sqrt{4 x^{2} + 3}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{x}{\sqrt{4 x^{2} + 3}}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$2 \frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x}{lim_{x \to \frac{1}{2}} \sqrt{4 x^{2} + 3}}$

Этап 2.3

Внесем предел под знак радикала.

$2 \frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x}{\sqrt{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} + 3}}$

Этап 2.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$2 \frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x}{\sqrt{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} 3}}$

Этап 2.5

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 \frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x}{\sqrt{4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} 3}}$

Этап 2.6

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$2 \frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x}{\sqrt{4 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} 3}}$

Этап 2.7

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$2 \frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x}{\sqrt{4 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + 3}}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{1}{2}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{1}{2}$ для $x$ .

$2 \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{4 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + 3}}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{1}{2}$ для $x$ .

$2 \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{4 {(\frac{1}{2})}^{2} + 3}}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4 {(\frac{1}{2})}^{2} + 3}})$

Этап 4.2

Объединим.

$2 \frac{1 \cdot 1}{2 \sqrt{4 {(\frac{1}{2})}^{2} + 3}}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{4 {(\frac{1}{2})}^{2} + 3}$ .

$2 \frac{1 \cdot 1}{2 (\sqrt{4 {(\frac{1}{2})}^{2} + 3})}$

Этап 4.3.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{1 \cdot 1}{2 \sqrt{4 {(\frac{1}{2})}^{2} + 3}}$

Этап 4.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1 \cdot 1}{\sqrt{4 {(\frac{1}{2})}^{2} + 3}}$

Этап 4.4

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 {(\frac{1}{2})}^{2} + 3}}$

Этап 4.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 3}}$

Этап 4.5.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{\sqrt{4 \frac{1}{2^{2}} + 3}}$

Этап 4.5.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 (\frac{1}{4}) + 3}}$

Этап 4.5.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sqrt{4 (\frac{1}{4}) + 3}}$

Этап 4.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\sqrt{1 + 3}}$

Этап 4.5.5

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{1}{\sqrt{4}}$

Этап 4.5.6

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 4.5.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{1}{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$0.5$