Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{4} (\sqrt{x} + 3 x) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{0}^{4} \sqrt{x} + 3 x d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{4} \sqrt{x} d x + \int_{0}^{4} 3 x d x$

Этап 3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{4} 3 x d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{4} + \int_{0}^{4} 3 x d x$

Этап 5

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{4} + 3 \int_{0}^{4} x d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{4} + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{4})$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{4} + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Этап 7.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Найдем значение $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ в $4$ и в $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Этап 7.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $4$ и в $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{3} \cdot 2^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.5

Объединим $\frac{2}{3}$ и $8$ .

$\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.6

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.7

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.8

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.9

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.9.1

Сократим общий множитель.

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.9.2

Перепишем это выражение.

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.10

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0 + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.11

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{16}{3} + 0 (\frac{2}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.12

Умножим $0$ на $\frac{2}{3}$ .

$\frac{16}{3} + 0 + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.13

Добавим $\frac{16}{3}$ и $0$ .

$\frac{16}{3} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.14

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{16}{3} + 3 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.15

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.15.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$\frac{16}{3} + 3 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.15.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.15.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{16}{3} + 3 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.15.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{16}{3} + 3 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.15.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{16}{3} + 3 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.15.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$\frac{16}{3} + 3 (8 - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.16

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{16}{3} + 3 (8 - \frac{0}{2})$

Этап 7.2.3.17

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.17.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$\frac{16}{3} + 3 (8 - \frac{2 (0)}{2})$

Этап 7.2.3.17.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.17.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{16}{3} + 3 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 7.2.3.17.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{16}{3} + 3 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 7.2.3.17.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{16}{3} + 3 (8 - \frac{0}{1})$

Этап 7.2.3.17.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{16}{3} + 3 (8 - 0)$

Этап 7.2.3.18

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{16}{3} + 3 (8 + 0)$

Этап 7.2.3.19

Добавим $8$ и $0$ .

$\frac{16}{3} + 3 \cdot 8$

Этап 7.2.3.20

Умножим $3$ на $8$ .

$\frac{16}{3} + 24$

Этап 7.2.3.21

Чтобы записать $24$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16}{3} + 24 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 7.2.3.22

Объединим $24$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16}{3} + \frac{24 \cdot 3}{3}$

Этап 7.2.3.23

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{16 + 24 \cdot 3}{3}$

Этап 7.2.3.24

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.24.1

Умножим $24$ на $3$ .

$\frac{16 + 72}{3}$

Этап 7.2.3.24.2

Добавим $16$ и $72$ .

$\frac{88}{3}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{88}{3}$

Десятичная форма:

$29.\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$29 \frac{1}{3}$

Этап 9