Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0^{+}} x^{\sqrt{x}}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $x^{\sqrt{x}}$ в виде $e^{\ln (x^{\sqrt{x}})}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln (x^{\sqrt{x}})}$

Этап 1.2

Развернем $\ln (x^{\sqrt{x}})$ , вынося $\sqrt{x}$ из логарифма.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\sqrt{x} \ln (x)}$

Этап 2

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \sqrt{x} \ln (x)}$

Этап 3

Перепишем $\sqrt{x} \ln (x)$ в виде $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sqrt{x}}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sqrt{x}}}}$

Этап 4

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sqrt{x}}}}$

Этап 4.1.2

Когда $x$ стремится к $0$ справа, $\ln (x)$ неограниченно убывает.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sqrt{x}}}}$

Этап 4.1.3

Так как числитель положителен, а знаменатель $\sqrt{x}$ стремится к нулю и больше нуля для $x$ около $0$ справа, функция неограниченно растет.

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Этап 4.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Этап 4.2

Поскольку $\frac{- \infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sqrt{x}}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]}$

Этап 4.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]}}$

Этап 4.3.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]}}$

Этап 4.3.3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]}}$

Этап 4.3.4

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ в виде ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]}}$

Этап 4.3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]}}$

Этап 4.3.5.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]}}$

Этап 4.3.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]}}$

Этап 4.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - \frac{1}{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1}}}$

Этап 4.3.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}}$

Этап 4.3.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}}$

Этап 4.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}}$

Этап 4.3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}}$

Этап 4.3.10.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}}}}$

Этап 4.3.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}}}}$

Этап 4.3.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.12.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}}$

Этап 4.3.12.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.12.2.1

Умножим $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}}}$

Этап 4.3.12.2.2

Перенесем $2$ влево от $x^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}}}$

Этап 4.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot - 1 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.5

Объединим множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot - 2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.5.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 2}{x} x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.5.3

Объединим $\frac{- 2}{x}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 2 x^{\frac{3}{2}}}{x}}$

Этап 4.6

Сократим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 2 x^{\frac{1}{2}}}{x}}$

Этап 4.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 2 x^{\frac{1}{2}}}{x^{1}}}$

Этап 4.6.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 2 x^{\frac{1}{2}}}{x \cdot 1}}$

Этап 4.6.2.3

Сократим общий множитель.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 2 x^{\frac{1}{2}}}{x \cdot 1}}$

Этап 4.6.2.4

Перепишем это выражение.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 2 x^{\frac{1}{2}}}{1}}$

Этап 4.6.2.5

Разделим $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - 2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем член $- 2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5.2

Вынесем степень $\frac{1}{2}$ в выражении $x^{\frac{1}{2}}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$e^{- 2 {(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{- 2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$e^{- 2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{- 2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}}$

Этап 7.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Сократим общий множитель.

$e^{- 2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}}$

Этап 7.1.3.2

Перепишем это выражение.

$e^{- 2 \cdot 0^{1}}$

Этап 7.1.4

Найдем экспоненту.

$e^{- 2 \cdot 0}$

Этап 7.1.5

Умножим $- 2$ на $0$ .

$e^{0}$

Этап 7.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$1$