Математический анализ Примеры

$y = x^{\cos (x)}$

Этап 1

Пусть $y = f (x)$ , возьмем натуральный логарифм обеих частей $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{\cos (x)})$

Этап 2

Развернем $\ln (x^{\cos (x)})$ , вынося $\cos (x)$ из логарифма.

$\ln (y) = \cos (x) \ln (x)$

Этап 3

Продифференцируем выражение, используя цепное правило, учитывая, что $y$ — функция от $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем левую часть $\ln (y)$ , используя цепное правило.

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \ln (x)$

Этап 3.2

Продифференцируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Дифференцируем $\cos (x) \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 3.2.3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 3.2.4

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 3.2.5

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) (- \sin (x))$

Этап 3.2.6

Изменим порядок членов.

$\frac{y'}{y} = - \sin (x) \ln (x) + \frac{\cos (x)}{x}$

Этап 4

Изолируем $y'$ и заменим исходную функцию на $y$ в правой части.

$y' = (- \sin (x) \ln (x) + \frac{\cos (x)}{x}) x^{\cos (x)}$

Этап 5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{x} x^{\cos (x)}$

Этап 5.2

Объединим $\frac{\cos (x)}{x}$ и $x^{\cos (x)}$ .

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \frac{\cos (x) x^{\cos (x)}}{x}$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $x^{\cos (x)}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $x$ из $\cos (x) x^{\cos (x)}$ .

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \frac{x (\cos (x) x^{\cos (x) - 1})}{x}$

Этап 5.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \frac{x (\cos (x) x^{\cos (x) - 1})}{x^{1}}$

Этап 5.3.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \frac{x (\cos (x) x^{\cos (x) - 1})}{x \cdot 1}$

Этап 5.3.2.3

Сократим общий множитель.

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \frac{x (\cos (x) x^{\cos (x) - 1})}{x \cdot 1}$

Этап 5.3.2.4

Перепишем это выражение.

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \frac{\cos (x) x^{\cos (x) - 1}}{1}$

Этап 5.3.2.5

Разделим $\cos (x) x^{\cos (x) - 1}$ на $1$ .

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \cos (x) x^{\cos (x) - 1}$

Этап 5.4

Изменим порядок множителей в $- \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \cos (x) x^{\cos (x) - 1}$ .

$y' = - x^{\cos (x)} \sin (x) \ln (x) + x^{\cos (x) - 1} \cos (x)$