Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{5 x^{n} - 3 x^{n - 1} + 4 x^{n - 2}}{2 x^{n} - 6 x^{n - 2}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 5 x^{n} - 3 x^{n - 1} + 4 x^{n - 2}}{lim_{x \to 0} 2 x^{n} - 6 x^{n - 2}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 5 x^{n} - lim_{x \to 0} 3 x^{n - 1} + lim_{x \to 0} 4 x^{n - 2}}{lim_{x \to 0} 2 x^{n} - 6 x^{n - 2}}$

Этап 3

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{5 lim_{x \to 0} x^{n} - lim_{x \to 0} 3 x^{n - 1} + lim_{x \to 0} 4 x^{n - 2}}{lim_{x \to 0} 2 x^{n} - 6 x^{n - 2}}$

Этап 4

Вынесем степень $n$ в выражении $x^{n}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{n} - lim_{x \to 0} 3 x^{n - 1} + lim_{x \to 0} 4 x^{n - 2}}{lim_{x \to 0} 2 x^{n} - 6 x^{n - 2}}$

Этап 5

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{n} - 3 lim_{x \to 0} x^{n - 1} + lim_{x \to 0} 4 x^{n - 2}}{lim_{x \to 0} 2 x^{n} - 6 x^{n - 2}}$

Этап 6

Вынесем степень $n - 1$ в выражении $x^{n - 1}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{n} - 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{n - 1} + lim_{x \to 0} 4 x^{n - 2}}{lim_{x \to 0} 2 x^{n} - 6 x^{n - 2}}$

Этап 7

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{n} - 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{n - 1} + 4 lim_{x \to 0} x^{n - 2}}{lim_{x \to 0} 2 x^{n} - 6 x^{n - 2}}$

Этап 8

Вынесем степень $n - 2$ в выражении $x^{n - 2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{n} - 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{n - 1} + 4 {(lim_{x \to 0} x)}^{n - 2}}{lim_{x \to 0} 2 x^{n} - 6 x^{n - 2}}$

Этап 9

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{n} - 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{n - 1} + 4 {(lim_{x \to 0} x)}^{n - 2}}{lim_{x \to 0} 2 x^{n} - lim_{x \to 0} 6 x^{n - 2}}$

Этап 10

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{n} - 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{n - 1} + 4 {(lim_{x \to 0} x)}^{n - 2}}{2 lim_{x \to 0} x^{n} - lim_{x \to 0} 6 x^{n - 2}}$

Этап 11

Вынесем степень $n$ в выражении $x^{n}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{n} - 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{n - 1} + 4 {(lim_{x \to 0} x)}^{n - 2}}{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{n} - lim_{x \to 0} 6 x^{n - 2}}$

Этап 12

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{n} - 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{n - 1} + 4 {(lim_{x \to 0} x)}^{n - 2}}{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{n} - 6 lim_{x \to 0} x^{n - 2}}$

Этап 13

Вынесем степень $n - 2$ в выражении $x^{n - 2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{n} - 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{n - 1} + 4 {(lim_{x \to 0} x)}^{n - 2}}{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{n} - 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{n - 2}}$

Этап 14

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1