Математический анализ Примеры

$\sqrt{1 + x^{2}}$

Этап 1

Запишем $\sqrt{1 + x^{2}}$ в виде функции.

$f (x) = \sqrt{1 + x^{2}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \sqrt{1 + x^{2}} d x$

Этап 4

Пусть $x = \tan (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $\sec^{2} (t)$ положительно.

$\int \sqrt{1 + \tan^{2} (t)} \sec^{2} (t) d t$

Этап 5

Упростим $\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Переставляем члены.

$\int \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \sec^{2} (t) d t$

Этап 5.2

Применим формулу Пифагора.

$\int \sqrt{\sec^{2} (t)} \sec^{2} (t) d t$

Этап 5.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Этап 6

Умножим $\sec (t)$ на $\sec^{2} (t)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $\sec (t)$ на $\sec^{2} (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем $\sec (t)$ в степень $1$ .

$\int \sec^{1} (t) \sec^{2} (t) d t$

Этап 6.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int {\sec (t)}^{1 + 2} d t$

Этап 6.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\int \sec^{3} (t) d t$

Этап 7

Вынесем множитель $\sec (t)$ из $\sec^{3} (t)$ .

$\int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Этап 8

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \sec (t)$ и $d v = \sec^{2} (t)$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 9

Возведем $\tan (t)$ в степень $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t$

Этап 10

Возведем $\tan (t)$ в степень $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t$

Этап 11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

Этап 12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Добавим $1$ и $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

Этап 12.2

Изменим порядок $\tan^{2} (t)$ и $\sec (t)$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t$

Этап 13

Используя формулы Пифагора, запишем $\tan^{2} (t)$ в виде $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t$

Этап 14

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t$

Этап 14.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

Этап 14.3

Изменим порядок $\sec (t)$ и $- 1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

Этап 15

Возведем $\sec (t)$ в степень $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t$

Этап 16

Возведем $\sec (t)$ в степень $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t$

Этап 17

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

Этап 18

Добавим $1$ и $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t$

Этап 19

Возведем $\sec (t)$ в степень $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

Этап 20

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

Этап 21

Добавим $2$ и $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

Этап 22

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Этап 23

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Этап 24

Интеграл $\sec (t)$ по $t$ имеет вид $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t)$

Этап 25

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t$

Этап 25.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t$

Этап 26

Найдя решение для $\int \sec^{3} (t) d t$ , получим $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C$

Этап 27

Умножим $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ на $1$ .

$\frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C$

Этап 28

Упростим.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Этап 29

Заменим все вхождения $t$ на $\arctan (x)$ .

$\frac{1}{2} (\sec (\arctan (x)) \tan (\arctan (x)) + \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |)) + C$

Этап 30

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \sqrt{1 + x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} (\sec (\arctan (x)) \tan (\arctan (x)) + \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |)) + C$