Математический анализ Примеры

$\sqrt{x + y} + x y = 21$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + y}$ в виде ${(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x + y)}^{\frac{1}{2}} + x y = 21$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} ({(x + y)}^{\frac{1}{2}} + x y) = \frac{d}{d x} (21)$

Этап 3

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная ${(x + y)}^{\frac{1}{2}} + x y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [{(x + y)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x y]$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + y)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [{(x + y)}^{\frac{1}{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 3.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 3.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + y$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 3.2.2

По правилу суммы производная $x + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 3.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 3.2.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + y') + \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 3.2.5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + y') + \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 3.2.6

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + y') + \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 3.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + y') + \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 3.2.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + y') + \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 3.2.8.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + y') + \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 3.2.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{- \frac{1}{2}} (1 + y') + \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 3.2.10

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x + y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (1 + y') + \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 3.2.11

Перенесем ${(x + y)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') + \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') + x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') + x y' + y \cdot 1$

Этап 3.3.4

Умножим $y$ на $1$ .

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') + x y' + y$

Этап 3.4

Изменим порядок членов.

$(1 + y') \frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + x y' + y$

Этап 4

Поскольку $21$ является константой относительно $x$ , производная $21$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$(1 + y') (\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}) + x y' + y = 0$

Этап 6

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим $(1 + y') \frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + x y' + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим $1 + y'$ на $\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + x y' + y = 0$

Этап 6.1.2

Чтобы записать $x y'$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + x y' \cdot \frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y = 0$

Этап 6.1.3

Объединим $x y'$ и $\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x y' (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y = 0$

Этап 6.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + y' + x y' (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y = 0$

Этап 6.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1 + y' + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y = 0$

Этап 6.1.6

Чтобы записать $y$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 + y' + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y \cdot \frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 6.1.7

Объединим $y$ и $\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 + y' + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 6.1.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + y' + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + y (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 6.1.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1 + y' + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 6.2

Приравняем числитель к нулю.

$1 + y' + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Этап 6.3

Решим уравнение относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y' + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = - 1$

Этап 6.3.1.2

Вычтем $2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ из обеих частей уравнения.

$y' + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = - 1 - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.3.2

Вынесем множитель $y'$ из $y' + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Вынесем множитель $y'$ из ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = - 1 - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.3.2.2

Вынесем множитель $y'$ из $2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' \cdot 1 + y' (2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = - 1 - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.3.2.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' \cdot 1 + y' (2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ .

$y' (1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = - 1 - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.3.3

Разделим каждый член $y' (1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = - 1 - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ на $1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Разделим каждый член $y' (1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = - 1 - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ на $1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y' (1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.3.3.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 1}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 1 - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.3.3.3.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{- 1 (1) - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.3.3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{- 1 (1) - (2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.3.3.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ .

$y' = \frac{- 1 (1 + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.3.3.3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{1 + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$