Математический анализ Примеры

$f (x) = x (x + 3)$

Этап 1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = x \cdot x + x \cdot 3$

Этап 2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x) = x^{2} + x \cdot 3$

Этап 2.2

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$f (x) = x^{2} + 3 x$

Этап 3

Квадратичная функция достигает минимума в $x = - \frac{b}{2 a}$ . Если $a$ принимает положительные значения, то минимальным значением функции будет $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{минимум}$ $x = a x^{2} + b x + c$ входит в $x = - \frac{b}{2 a}$

Этап 4

Найдем значение $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим в значения $a$ и $b$ .

$x = - \frac{3}{2 (1)}$

Этап 4.2

Избавимся от скобок.

$x = - \frac{3}{2 (1)}$

Этап 4.3

Умножим $2$ на $1$ .

$x = - \frac{3}{2}$

Этап 5

Найдем значение $f (- \frac{3}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = {(- \frac{3}{2})}^{2} + 3 (- \frac{3}{2})$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} + 3 (- \frac{3}{2})$

Этап 5.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = {(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}}) + 3 (- \frac{3}{2})$

Этап 5.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 1 (\frac{3^{2}}{2^{2}}) + 3 (- \frac{3}{2})$

Этап 5.2.1.3

Умножим $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{3^{2}}{2^{2}} + 3 (- \frac{3}{2})$

Этап 5.2.1.4

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2^{2}} + 3 (- \frac{3}{2})$

Этап 5.2.1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} + 3 (- \frac{3}{2})$

Этап 5.2.1.6

Умножим $3 (- \frac{3}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - 3 (\frac{3}{2})$

Этап 5.2.1.6.2

Объединим $- 3$ и $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 3 \cdot 3}{2}$

Этап 5.2.1.6.3

Умножим $- 3$ на $3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 9}{2}$

Этап 5.2.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2}$

Этап 5.2.2

Чтобы записать $- \frac{9}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 5.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $\frac{9}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Этап 5.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{4}$

Этап 5.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9 - 9 \cdot 2}{4}$

Этап 5.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Умножим $- 9$ на $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9 - 18}{4}$

Этап 5.2.5.2

Вычтем $18$ из $9$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 9}{4}$

Этап 5.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{4}$

Этап 5.2.7

Окончательный ответ: $- \frac{9}{4}$ .

$- \frac{9}{4}$

Этап 6

Используем значения $x$ и $y$ , чтобы найти, где достигается минимум.

$(- \frac{3}{2}, - \frac{9}{4})$

Этап 7