Математический анализ Примеры

$x + y = \frac{x}{y}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x + y) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{y})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$1 + y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$\frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 3.2.2

Умножим $y$ на $1$ .

$\frac{y - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}}$

Этап 3.4

Изменим порядок членов.

$\frac{- x y' + y}{y^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$1 + y' = \frac{- x y' + y}{y^{2}}$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим обе части на $y^{2}$ .

$(1 + y') y^{2} = \frac{- x y' + y}{y^{2}} y^{2}$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим $(1 + y') y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 y^{2} + y' y^{2} = \frac{- x y' + y}{y^{2}} y^{2}$

Этап 5.2.1.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.2.1

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} + y' y^{2} = \frac{- x y' + y}{y^{2}} y^{2}$

Этап 5.2.1.1.2.2

Изменим порядок $y^{2}$ и $y' y^{2}$ .

$y' y^{2} + y^{2} = \frac{- x y' + y}{y^{2}} y^{2}$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим $\frac{- x y' + y}{y^{2}} y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y' y^{2} + y^{2} = \frac{- x y' + y}{y^{2}} y^{2}$

Этап 5.2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y' y^{2} + y^{2} = - x y' + y$

Этап 5.2.2.1.2

Перенесем $x$ .

$y' y^{2} + y^{2} = - 1 y' x + y$

Этап 5.3

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перепишем $- 1 y'$ в виде $- y'$ .

$y' y^{2} + y^{2} = - y' x + y$

Этап 5.3.2

Добавим $y' x$ к обеим частям уравнения.

$y' y^{2} + y^{2} + y' x = y$

Этап 5.3.3

Вычтем $y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$y' y^{2} + y' x = y - y^{2}$

Этап 5.3.4

Вынесем множитель $y'$ из $y' y^{2} + y' x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вынесем множитель $y'$ из $y' y^{2}$ .

$y' (y^{2}) + y' (x) = y - y^{2}$

Этап 5.3.4.2

Вынесем множитель $y'$ из $y' x$ .

$y' (y^{2}) + y' (x) = y - y^{2}$

Этап 5.3.4.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (y^{2}) + y' (x)$ .

$y' (y^{2} + x) = y - y^{2}$

Этап 5.3.5

Разделим каждый член $y' (y^{2} + x) = y - y^{2}$ на $y^{2} + x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Разделим каждый член $y' (y^{2} + x) = y - y^{2}$ на $y^{2} + x$ .

$\frac{y' (y^{2} + x)}{y^{2} + x} = \frac{y}{y^{2} + x} + \frac{- y^{2}}{y^{2} + x}$

Этап 5.3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.1

Сократим общий множитель $y^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (y^{2} + x)}{y^{2} + x} = \frac{y}{y^{2} + x} + \frac{- y^{2}}{y^{2} + x}$

Этап 5.3.5.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{y}{y^{2} + x} + \frac{- y^{2}}{y^{2} + x}$

Этап 5.3.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{y - y^{2}}{y^{2} + x}$

Этап 5.3.5.3.2

Вынесем множитель $y$ из $y - y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.3.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$y' = \frac{y^{1} - y^{2}}{y^{2} + x}$

Этап 5.3.5.3.2.2

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$y' = \frac{y \cdot 1 - y^{2}}{y^{2} + x}$

Этап 5.3.5.3.2.3

Вынесем множитель $y$ из $- y^{2}$ .

$y' = \frac{y \cdot 1 + y (- y)}{y^{2} + x}$

Этап 5.3.5.3.2.4

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot 1 + y (- y)$ .

$y' = \frac{y (1 - y)}{y^{2} + x}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (1 - y)}{y^{2} + x}$