Математический анализ Примеры

$\int (\frac{x^{2}}{2} - \frac{2}{x^{2}}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int \frac{x^{2}}{2} - \frac{2}{x^{2}} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{x^{2}}{2} d x + \int - \frac{2}{x^{2}} d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int x^{2} d x + \int - \frac{2}{x^{2}} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - \frac{2}{x^{2}} d x$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - \int \frac{2}{x^{2}} d x$

Этап 6

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - (2 \int \frac{1}{x^{2}} d x)$

Этап 7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 7.2

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 7.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 7.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 \int x^{- 2} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 (- x^{- 1} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} x^{3} - 2 (- x^{- 1}) + C$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 3} x^{3} - 2 (- x^{- 1}) + C$

Этап 9.2.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{1}{6} x^{3} - 2 (- x^{- 1}) + C$

Этап 9.2.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{1}{6} x^{3} + 2 x^{- 1} + C$