Математический анализ Примеры

$y = x \sqrt{x}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = x \cdot x^{\frac{1}{2}}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x \cdot x^{\frac{1}{2}})$

Этап 3

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{1} x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [x^{1 + \frac{1}{2}}]$

Этап 4.1.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Этап 4.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2 + 1}{2}}]$

Этап 4.1.4

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}$

Этап 4.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Этап 4.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}$

Этап 4.6.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$

Этап 4.7

Объединим $\frac{3}{2}$ и $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$