Математический анализ Примеры

$f (x) = x \sqrt{x - a}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x - a}$ в виде ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x - a)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x - a)}^{\frac{1}{2}}] + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x - a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - a$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - a$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x - a)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(x - a)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.8.3

Перенесем ${(x - a)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.8.4

Объединим $\frac{1}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - a] + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.9

По правилу суммы производная $x - a$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.11

Поскольку $- a$ является константой относительно $x$ , производная $- a$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.12.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.12.2

Умножим $\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Этап 1.1.14

Умножим ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - a)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.1.15

Чтобы записать ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.16

Объединим ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x - a)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.18

Умножим ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.18.1

Перенесем ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.18.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x + {(x - a)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.18.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x + {(x - a)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.18.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{x + {(x - a)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.18.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{x + {(x - a)}^{1} \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.19

Упростим ${(x - a)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{x + (x - a) \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.20

Перенесем $2$ влево от $x - a$ .

$\frac{x + 2 \cdot (x - a)}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.21

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.21.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x + 2 x + 2 (- a)}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.21.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.21.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{x + 2 x - 2 a}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.21.2.2

Добавим $x$ и $2 x$ .

$\frac{3 x - 2 a}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.21.3

Изменим порядок членов.

$\frac{- 2 a + 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.21.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 a$ .

$\frac{- (2 a) + 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.21.5

Вынесем множитель $- 1$ из $3 x$ .

$\frac{- (2 a) - (- 3 x)}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.21.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 a) - (- 3 x)$ .

$\frac{- (2 a - 3 x)}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.21.7

Перепишем $- (2 a - 3 x)$ в виде $- 1 (2 a - 3 x)$ .

$\frac{- 1 (2 a - 3 x)}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.21.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{2 a - 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{2 a - 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{2 a - 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{2 a - 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{2 a - 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$2 a - 3 x = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вычтем $2 a$ из обеих частей уравнения.

$- 3 x = - 2 a$

Этап 2.3.2

Разделим каждый член $- 3 x = - 2 a$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Разделим каждый член $- 3 x = - 2 a$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 2 a}{- 3}$

Этап 2.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 2 a}{- 3}$

Этап 2.3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 a}{- 3}$

Этап 2.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{2 a}{3}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $x \sqrt{x - a}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = \frac{2 a}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $\frac{2 a}{3}$ вместо $x$ .

$(\frac{2 a}{3}) \sqrt{(\frac{2 a}{3}) - a}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Чтобы записать $- a$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{2 a}{3} - a \cdot \frac{3}{3}}$

Этап 4.1.2.2

Объединим $- a$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{2 a}{3} + \frac{- a \cdot 3}{3}}$

Этап 4.1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{2 a - a \cdot 3}{3}}$

Этап 4.1.2.4

Перепишем $\frac{2 a - a \cdot 3}{3}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1

Вынесем множитель $a$ из $2 a - a \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1.1

Вынесем множитель $a$ из $2 a$ .

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{a \cdot 2 - a \cdot 3}{3}}$

Этап 4.1.2.4.1.2

Вынесем множитель $a$ из $- a \cdot 3$ .

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{a \cdot 2 + a (- 1 \cdot 3)}{3}}$

Этап 4.1.2.4.1.3

Вынесем множитель $a$ из $a \cdot 2 + a (- 1 \cdot 3)$ .

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{a (2 - 1 \cdot 3)}{3}}$

Этап 4.1.2.4.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{a (2 - 3)}{3}}$

Этап 4.1.2.4.3

Вычтем $3$ из $2$ .

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{a \cdot - 1}{3}}$

Этап 4.1.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1

Перенесем $- 1$ влево от $a$ .

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{- 1 \cdot a}{3}}$

Этап 4.1.2.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2 a}{3} \sqrt{- \frac{a}{3}}$

Этап 4.1.2.6

Объединим $\frac{2 a}{3}$ и $\sqrt{- \frac{a}{3}}$ .

$\frac{2 a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3}$

Этап 4.2

Перечислим все точки.

$(\frac{2 a}{3}, \frac{2 a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3})$

Этап 5