Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{4} (4 x - x^{2}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{0}^{4} 4 x - x^{2} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{4} 4 x d x + \int_{0}^{4} - x^{2} d x$

Этап 3

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int_{0}^{4} x d x + \int_{0}^{4} - x^{2} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - x^{2} d x$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - x^{2} d x$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) - \int_{0}^{4} x^{2} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4})$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4})$

Этап 8.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $4$ и в $0$ .

$4 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4})$

Этап 8.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $4$ и в $0$ .

$4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$4 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.2

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$4 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$4 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$4 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$4 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.2.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$4 (8 - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$4 (8 - \frac{0}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.4

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$4 (8 - \frac{2 (0)}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$4 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$4 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$4 (8 - \frac{0}{1}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.4.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$4 (8 - 0) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$4 (8 + 0) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.6

Добавим $8$ и $0$ .

$4 \cdot 8 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.7

Умножим $4$ на $8$ .

$32 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.8

Возведем $4$ в степень $3$ .

$32 - (\frac{64}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.9

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$32 - (\frac{64}{3} - \frac{0}{3})$

Этап 8.2.3.10

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.10.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$32 - (\frac{64}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Этап 8.2.3.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.10.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$32 - (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 8.2.3.10.2.2

Сократим общий множитель.

$32 - (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 8.2.3.10.2.3

Перепишем это выражение.

$32 - (\frac{64}{3} - \frac{0}{1})$

Этап 8.2.3.10.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$32 - (\frac{64}{3} - 0)$

Этап 8.2.3.11

Умножим $- 1$ на $0$ .

$32 - (\frac{64}{3} + 0)$

Этап 8.2.3.12

Добавим $\frac{64}{3}$ и $0$ .

$32 - \frac{64}{3}$

Этап 8.2.3.13

Чтобы записать $32$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$32 \cdot \frac{3}{3} - \frac{64}{3}$

Этап 8.2.3.14

Объединим $32$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{32 \cdot 3}{3} - \frac{64}{3}$

Этап 8.2.3.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{32 \cdot 3 - 64}{3}$

Этап 8.2.3.16

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.16.1

Умножим $32$ на $3$ .

$\frac{96 - 64}{3}$

Этап 8.2.3.16.2

Вычтем $64$ из $96$ .

$\frac{32}{3}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{32}{3}$

Десятичная форма:

$10.\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$10 \frac{2}{3}$

Этап 10