Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 x^{6} + 4 x^{2}}}{x^{3} - 1}$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $9 x^{6} + 4 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $9 x^{6}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} (9 x^{4}) + 4 x^{2}}}{x^{3} - 1}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $4 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} (9 x^{4}) + x^{2} \cdot 4}}{x^{3} - 1}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (9 x^{4}) + x^{2} \cdot 4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} (9 x^{4} + 4)}}{x^{3} - 1}$

Этап 1.2

Перепишем $9 x^{4}$ в виде ${(3 x^{2})}^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} ({(3 x^{2})}^{2} + 4)}}{x^{3} - 1}$

Этап 1.3

Вынесем члены из-под знака корня.

$lim_{x \to \infty} \frac{x \sqrt{{(3 x^{2})}^{2} + 4}}{x^{3} - 1}$

Этап 1.4

Применим правило умножения к $3 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x \sqrt{3^{2} {(x^{2})}^{2} + 4}}{x^{3} - 1}$

Этап 1.5

Возведем $3$ в степень $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x \sqrt{9 {(x^{2})}^{2} + 4}}{x^{3} - 1}$

Этап 1.6

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x \sqrt{9 x^{2 \cdot 2} + 4}}{x^{3} - 1}$

Этап 1.6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x \sqrt{9 x^{4} + 4}}{x^{3} - 1}$

Этап 2

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \sqrt{9 x^{4} + 4}}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $x$ и $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x \sqrt{9 x^{4} + 4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (\sqrt{9 x^{4} + 4})}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (\sqrt{9 x^{4} + 4})}{x \cdot x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \sqrt{9 x^{4} + 4}}{x \cdot x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{9 x^{4} + 4}}{x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{9 x^{4} + 4}}{x^{2}}}{1 - \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 3.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 x^{4} + 4}}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 4

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $\sqrt{x^{4}} = x^{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{4}}{x^{4}} + \frac{4}{x^{4}}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{4}}{x^{4}} + \frac{4}{x^{4}}}}{1}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{4}}{x^{4}} + \frac{4}{x^{4}}}}{1}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 5.2.2

Разделим $9$ на $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 + \frac{4}{x^{4}}}}{1}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 5.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{4}{x^{4}}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 5.4

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 9 + \frac{4}{x^{4}}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 5.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 9 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{4}}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 5.6

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{\frac{\sqrt{9 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{4}}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 5.7

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\frac{\sqrt{9 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 6

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{4}}$ стремится к $0$ .

$\frac{\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 7

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0}}{1}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 7.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0}}{1}}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 7.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0}}{1}}{1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 8

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{3}}$ стремится к $0$ .

$\frac{\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0}}{1}}{1 - 0}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разделим $\sqrt{9 + 4 \cdot 0}$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0}}{1 - 0}$

Этап 9.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 0}}{1 - 0}$

Этап 9.2.2

Добавим $9$ и $0$ .

$\frac{\sqrt{9}}{1 - 0}$

Этап 9.2.3

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}}}{1 - 0}$

Этап 9.2.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{3}{1 - 0}$

Этап 9.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{3}{1 + 0}$

Этап 9.3.2

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{3}{1}$

Этап 9.4

Разделим $3$ на $1$ .

$3$