Математический анализ Примеры

$lim_{x \to {(\frac{π}{\frac{}{}} \cdot 2)}^{+}} \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{\frac{}{}} \cdot 2$ .

$\frac{lim_{x \to {(\frac{π}{\frac{}{}} \cdot 2)}^{+}} \cos (x)}{lim_{x \to {(\frac{π}{\frac{}{}} \cdot 2)}^{+}} 1 - \sin (x)}$

Этап 2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{\cos (lim_{x \to {(\frac{π}{\frac{}{}} \cdot 2)}^{+}} x)}{lim_{x \to {(\frac{π}{\frac{}{}} \cdot 2)}^{+}} 1 - \sin (x)}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{\frac{}{}} \cdot 2$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to {(\frac{π}{\frac{}{}} \cdot 2)}^{+}} x)}{lim_{x \to {(\frac{π}{\frac{}{}} \cdot 2)}^{+}} 1 - lim_{x \to {(\frac{π}{\frac{}{}} \cdot 2)}^{+}} \sin (x)}$

Этап 4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{π}{\frac{}{}} \cdot 2$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to {(\frac{π}{\frac{}{}} \cdot 2)}^{+}} x)}{1 - lim_{x \to {(\frac{π}{\frac{}{}} \cdot 2)}^{+}} \sin (x)}$

Этап 5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\cos (lim_{x \to {(\frac{π}{\frac{}{}} \cdot 2)}^{+}} x)}{1 - \sin (lim_{x \to {(\frac{π}{\frac{}{}} \cdot 2)}^{+}} x)}$

Этап 6

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{π}{\frac{}{}} \cdot 2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{\frac{}{}} \cdot 2$ для $x$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{\frac{}{}} \cdot 2)}{1 - \sin (lim_{x \to {(\frac{π}{\frac{}{}} \cdot 2)}^{+}} x)}$

Этап 6.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим выражение $\frac{}{}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (\frac{π}{\frac{}{}} \cdot 2)}{1 - \sin (lim_{x \to {(\frac{π}{\frac{}{}} \cdot 2)}^{+}} x)}$

Этап 6.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\cos (\frac{π}{\frac{1}{1}} \cdot 2)}{1 - \sin (lim_{x \to {(\frac{π}{\frac{}{}} \cdot 2)}^{+}} x)}$

Этап 6.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\cos (\frac{π}{1} \cdot 2)}{1 - \sin (lim_{x \to {(\frac{π}{\frac{}{}} \cdot 2)}^{+}} x)}$

Этап 6.3

Разделим $π$ на $1$ .

$\frac{\cos (π \cdot 2)}{1 - \sin (lim_{x \to {(\frac{π}{\frac{}{}} \cdot 2)}^{+}} x)}$

Этап 6.4

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$\frac{\cos (2 π)}{1 - \sin (lim_{x \to {(\frac{π}{\frac{}{}} \cdot 2)}^{+}} x)}$

Этап 6.5

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{\frac{}{}} \cdot 2$ для $x$ .

$\frac{\cos (2 π)}{1 - \sin (\frac{π}{\frac{}{}} \cdot 2)}$

Этап 6.6

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Сократим выражение $\frac{}{}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (2 π)}{1 - \sin (\frac{π}{\frac{}{}} \cdot 2)}$

Этап 6.6.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\cos (2 π)}{1 - \sin (\frac{π}{\frac{1}{1}} \cdot 2)}$

Этап 6.6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\cos (2 π)}{1 - \sin (\frac{π}{1} \cdot 2)}$

Этап 6.7

Разделим $π$ на $1$ .

$\frac{\cos (2 π)}{1 - \sin (π \cdot 2)}$

Этап 6.8

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$\frac{\cos (2 π)}{1 - \sin (2 π)}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{\cos (0)}{1 - \sin (2 π)}$

Этап 7.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{1 - \sin (2 π)}$

Этап 7.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{1}{1 - \sin (0)}$

Этап 7.2.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{1 - 0}$

Этап 7.2.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1}{1 + 0}$

Этап 7.2.4

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{1}$

Этап 7.3

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{1}$

Этап 7.3.2

Перепишем это выражение.

$1$