Математический анализ Примеры

$\int (\frac{7}{\sqrt{x}} + 7 \sqrt{x}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int \frac{7}{\sqrt{x}} + 7 \sqrt{x} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{7}{\sqrt{x}} d x + \int 7 \sqrt{x} d x$

Этап 3

Поскольку $7$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $7$ из-под знака интеграла.

$7 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int 7 \sqrt{x} d x$

Этап 4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$7 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int 7 \sqrt{x} d x$

Этап 4.2

Вынесем $x^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$7 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int 7 \sqrt{x} d x$

Этап 4.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int 7 \sqrt{x} d x$

Этап 4.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$7 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int 7 \sqrt{x} d x$

Этап 4.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$7 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 7 \sqrt{x} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$7 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int 7 \sqrt{x} d x$

Этап 6

Поскольку $7$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $7$ из-под знака интеграла.

$7 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 7 \int \sqrt{x} d x$

Этап 7

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$7 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 7 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$7 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 7 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

$14 x^{\frac{1}{2}} + 7 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) + C$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$14 x^{\frac{1}{2}} + 7 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Этап 9.2.2

Объединим $7$ и $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$14 x^{\frac{1}{2}} + \frac{7 (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} + C$

Этап 9.2.3

Умножим $2$ на $7$ .

$14 x^{\frac{1}{2}} + \frac{14 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Этап 9.3

Изменим порядок членов.

$14 x^{\frac{1}{2}} + \frac{14}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$