Математический анализ Примеры

$\int x^{2} e^{- 2 x} d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x^{2}$ и $d v = e^{- 2 x}$ .

$x^{2} (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (2 x) d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $e^{- 2 x}$ и $\frac{1}{2}$ .

$x^{2} (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (2 x) d x$

Этап 2.2

Объединим $x^{2}$ и $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (2 x) d x$

Этап 3

Поскольку $- \frac{1}{2} \cdot 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- \frac{1}{2} \cdot 2$ из-под знака интеграла.

$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - (- \frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{- 2 x} (x) d x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - (- 2 (\frac{1}{2}) \int e^{- 2 x} (x) d x)$

Этап 4.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} \int e^{- 2 x} (x) d x)$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - (\frac{2 \cdot - 1}{2} \int e^{- 2 x} (x) d x)$

Этап 4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - (\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int e^{- 2 x} (x) d x)$

Этап 4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - (\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int e^{- 2 x} (x) d x)$

Этап 4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 1}{1} \int e^{- 2 x} (x) d x)$

Этап 4.3.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - - \int e^{- 2 x} (x) d x$

Этап 4.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} + 1 \int e^{- 2 x} (x) d x$

Этап 4.5

Умножим $\int e^{- 2 x} (x) d x$ на $1$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} + \int e^{- 2 x} (x) d x$

Этап 5

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{- 2 x}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} + x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $e^{- 2 x}$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} + x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

Этап 6.2

Объединим $x$ и $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

Этап 7

Поскольку $- \frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- \frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - (- \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 (\frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Этап 8.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x$

Этап 9

Пусть $u = - 2 x$ . Тогда $d u = - 2 d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Пусть $u = - 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Дифференцируем $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 9.1.2

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 9.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Этап 9.1.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2$

Этап 9.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Этап 10.2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u$

Этап 11

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Этап 12

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Этап 13.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Этап 14

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Перепишем $- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ в виде $- \frac{1}{2} x^{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ .

$- \frac{1}{2} x^{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Этап 15.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{2}}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Этап 15.2.2

Объединим $e^{- 2 x}$ и $\frac{x^{2}}{2}$ .

$- \frac{e^{- 2 x} x^{2}}{2} - \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Этап 15.2.3

Объединим $x$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{e^{- 2 x} x^{2}}{2} - \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Этап 15.2.4

Объединим $e^{- 2 x}$ и $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{e^{- 2 x} x^{2}}{2} - \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Этап 16

Заменим все вхождения $u$ на $- 2 x$ .

$- \frac{e^{- 2 x} x^{2}}{2} - \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$

Этап 17

Объединим $e^{- 2 x}$ и $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{e^{- 2 x} x^{2}}{2} - \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} + C$

Этап 18

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{2} e^{- 2 x} x^{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} x - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$

Этап 19

Перепишем $- \frac{1}{2} e^{- 2 x} x^{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} x - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$ в виде $- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$ .

$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$

Этап 20

Избавимся от скобок.

$- \frac{1}{2} x^{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$