Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{4} (4 x + \sqrt{x}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{1}^{4} 4 x + \sqrt{x} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{4} 4 x d x + \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

Этап 3

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int_{1}^{4} x d x + \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

Этап 5

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

Этап 5.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $4$ и в $1$ .

$4 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

Этап 7.2

Найдем значение $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ в $4$ и в $1$ .

$4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$4 (\frac{16}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3.2

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$4 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$4 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$4 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$4 (\frac{8}{1} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3.2.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$4 (8 - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3.3

Единица в любой степени равна единице.

$4 (8 - \frac{1}{2}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3.4

Чтобы записать $8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$4 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3.5

Объединим $8$ и $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 \frac{8 \cdot 2 - 1}{2} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.7.1

Умножим $8$ на $2$ .

$4 \frac{16 - 1}{2} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3.7.2

Вычтем $1$ из $16$ .

$4 (\frac{15}{2}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3.8

Объединим $4$ и $\frac{15}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 15}{2} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3.9

Умножим $4$ на $15$ .

$\frac{60}{2} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3.10

Сократим общий множитель $60$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.10.1

Вынесем множитель $2$ из $60$ .

$\frac{2 \cdot 30}{2} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.10.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 30}{2 (1)} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3.10.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 30}{2 \cdot 1} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3.10.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{30}{1} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3.10.2.4

Разделим $30$ на $1$ .

$30 + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3.11

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$30 + \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3.12

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$30 + \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3.13

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.13.1

Сократим общий множитель.

$30 + \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3.13.2

Перепишем это выражение.

$30 + \frac{2}{3} \cdot 2^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3.14

Возведем $2$ в степень $3$ .

$30 + \frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3.15

Объединим $\frac{2}{3}$ и $8$ .

$30 + \frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3.16

Умножим $2$ на $8$ .

$30 + \frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3.17

Единица в любой степени равна единице.

$30 + \frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

Этап 7.3.18

Умножим $- 1$ на $1$ .

$30 + \frac{16}{3} - \frac{2}{3}$

Этап 7.3.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$30 + \frac{16 - 2}{3}$

Этап 7.3.20

Вычтем $2$ из $16$ .

$30 + \frac{14}{3}$

Этап 7.3.21

Чтобы записать $30$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$30 \cdot \frac{3}{3} + \frac{14}{3}$

Этап 7.3.22

Объединим $30$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{30 \cdot 3}{3} + \frac{14}{3}$

Этап 7.3.23

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{30 \cdot 3 + 14}{3}$

Этап 7.3.24

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.24.1

Умножим $30$ на $3$ .

$\frac{90 + 14}{3}$

Этап 7.3.24.2

Добавим $90$ и $14$ .

$\frac{104}{3}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{104}{3}$

Десятичная форма:

$34.\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$34 \frac{2}{3}$

Этап 9