Математический анализ Примеры

$f (x) = {\begin{cases} x^{2} + 1 & x < 1 \\ 2 & x = 1 \\ 7 - 5 x & x > 1 \end{cases}$

Этап 1

Найдем предел $x^{2} + 1$ , когда $x$ стремится к $1$ слева.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Изменим двусторонний предел на левосторонний.

$lim_{x \to 1^{-}} x^{2} + 1$

Этап 1.2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$lim_{x \to 1^{-}} x^{2} + lim_{x \to 1^{-}} 1$

Этап 1.2.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

${(lim_{x \to 1^{-}} x)}^{2} + lim_{x \to 1^{-}} 1$

Этап 1.2.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

${(lim_{x \to 1^{-}} x)}^{2} + 1$

Этап 1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$1^{2} + 1$

Этап 1.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 1$

Этап 1.4.2

Добавим $1$ и $1$ .

$2$

Этап 2

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$2$

Этап 3

Поскольку предел $x^{2} + 1$ , когда $x$ стремится к $1$ слева, равен значению функции в точке $x = 1$ , функция непрерывна в точке $x = 1$ .

Непрерывные

Этап 4

Найдем предел $7 - 5 x$ , когда $x$ стремится к $1$ справа.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим двусторонний предел на правосторонний.

$lim_{x \to 1^{+}} 7 - 5 x$

Этап 4.2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$lim_{x \to 1^{+}} 7 - lim_{x \to 1^{+}} 5 x$

Этап 4.2.2

Найдем предел $7$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$7 - lim_{x \to 1^{+}} 5 x$

Этап 4.2.3

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$7 - 5 lim_{x \to 1^{+}} x$

Этап 4.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$7 - 5 \cdot 1$

Этап 4.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $- 5$ на $1$ .

$7 - 5$

Этап 4.4.2

Вычтем $5$ из $7$ .

$2$

Этап 5

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$2$

Этап 6

Поскольку предел $7 - 5 x$ , когда $x$ стремится к $1$ справа, равен значению функции в точке $x = 1$ , функция непрерывна в точке $x = 1$ .

Непрерывные

Этап 7