Элемент. математика Примеры

$2 y = \sqrt{27 - 3 y}$

Этап 1

Поскольку радикал находится в правой части уравнения, поменяем стороны, чтобы он оказался в левой части.

$\sqrt{27 - 3 y} = 2 y$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{27 - 3 y}}^{2} = {(2 y)}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{27 - 3 y}$ в виде ${(27 - 3 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(27 - 3 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 y)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(27 - 3 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(27 - 3 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(27 - 3 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 y)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(27 - 3 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 y)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(27 - 3 y)}^{1} = {(2 y)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$27 - 3 y = {(2 y)}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(2 y)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Применим правило умножения к $2 y$ .

$27 - 3 y = 2^{2} y^{2}$

Этап 3.3.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$27 - 3 y = 4 y^{2}$

Этап 4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $4 y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$27 - 3 y - 4 y^{2} = 0$

Этап 4.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $27 - 3 y - 4 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Перенесем $27$ .

$- 3 y - 4 y^{2} + 27 = 0$

Этап 4.2.1.1.2

Изменим порядок $- 3 y$ и $- 4 y^{2}$ .

$- 4 y^{2} - 3 y + 27 = 0$

Этап 4.2.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 y^{2}$ .

$- (4 y^{2}) - 3 y + 27 = 0$

Этап 4.2.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 y$ .

$- (4 y^{2}) - (3 y) + 27 = 0$

Этап 4.2.1.4

Перепишем $27$ в виде $- 1 (- 27)$ .

$- (4 y^{2}) - (3 y) - 1 \cdot - 27 = 0$

Этап 4.2.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 y^{2}) - (3 y)$ .

$- (4 y^{2} + 3 y) - 1 \cdot - 27 = 0$

Этап 4.2.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 y^{2} + 3 y) - 1 (- 27)$ .

$- (4 y^{2} + 3 y - 27) = 0$

Этап 4.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot - 27 = - 108$ , а сумма — $b = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 y$ .

$- (4 y^{2} + 3 (y) - 27) = 0$

Этап 4.2.2.1.1.2

Запишем $3$ как $- 9$ плюс $12$

$- (4 y^{2} + (- 9 + 12) y - 27) = 0$

Этап 4.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- (4 y^{2} - 9 y + 12 y - 27) = 0$

Этап 4.2.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- ((4 y^{2} - 9 y) + 12 y - 27) = 0$

Этап 4.2.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- (y (4 y - 9) + 3 (4 y - 9)) = 0$

Этап 4.2.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 y - 9$ .

$- ((4 y - 9) (y + 3)) = 0$

Этап 4.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (4 y - 9) (y + 3) = 0$

Этап 4.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 y - 9 = 0$

$y + 3 = 0$

Этап 4.4

Приравняем $4 y - 9$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Приравняем $4 y - 9$ к $0$ .

$4 y - 9 = 0$

Этап 4.4.2

Решим $4 y - 9 = 0$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$4 y = 9$

Этап 4.4.2.2

Разделим каждый член $4 y = 9$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.1

Разделим каждый член $4 y = 9$ на $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{9}{4}$

Этап 4.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y}{4} = \frac{9}{4}$

Этап 4.4.2.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{9}{4}$

Этап 4.5

Приравняем $y + 3$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $y + 3$ к $0$ .

$y + 3 = 0$

Этап 4.5.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$y = - 3$

Этап 4.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (4 y - 9) (y + 3) = 0$ верно.

$y = \frac{9}{4}, - 3$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $2 y = \sqrt{27 - 3 y}$ истинным.

$y = \frac{9}{4}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$y = \frac{9}{4}$

Десятичная форма:

$y = 2.25$

Форма смешанных чисел:

$y = 2 \frac{1}{4}$