Элемент. математика Примеры

$11 = k^{2} - 1 + k^{4} - 2 k^{2} + 1 - 1$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $k^{2} - 1 + k^{4} - 2 k^{2} + 1 - 1 = 11$ .

$k^{2} - 1 + k^{4} - 2 k^{2} + 1 - 1 = 11$

Этап 2

Упростим $k^{2} - 1 + k^{4} - 2 k^{2} + 1 - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим противоположные члены в $k^{2} - 1 + k^{4} - 2 k^{2} + 1 - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$k^{2} + k^{4} - 2 k^{2} + 0 - 1 = 11$

Этап 2.1.2

Добавим $k^{2} + k^{4} - 2 k^{2}$ и $0$ .

$k^{2} + k^{4} - 2 k^{2} - 1 = 11$

Этап 2.2

Вычтем $2 k^{2}$ из $k^{2}$ .

$k^{4} - k^{2} - 1 = 11$

Этап 3

Подставим $u = k^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$u^{2} - u - 1 = 11$

$u = k^{2}$

Этап 4

Вычтем $11$ из обеих частей уравнения.

$u^{2} - u - 1 - 11 = 0$

Этап 5

Вычтем $11$ из $- 1$ .

$u^{2} - u - 12 = 0$

Этап 6

Разложим $u^{2} - u - 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 12$ , а сумма — $- 1$ .

$- 4, 3$

Этап 6.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 4) (u + 3) = 0$

Этап 7

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 4 = 0$

$u + 3 = 0$

Этап 8

Приравняем $u - 4$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $u - 4$ к $0$ .

$u - 4 = 0$

Этап 8.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$u = 4$

Этап 9

Приравняем $u + 3$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Приравняем $u + 3$ к $0$ .

$u + 3 = 0$

Этап 9.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$u = - 3$

Этап 10

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u - 4) (u + 3) = 0$ верно.

$u = 4, - 3$

Этап 11

Подставим вещественное значение $u = k^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$k^{2} = 4$

${(k^{2})}^{1} = - 3$

Этап 12

Решим первое уравнение относительно $k$ .

$k^{2} = 4$

Этап 13

Решим уравнение относительно $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$k = \pm \sqrt{4}$

Этап 13.2

Упростим $\pm \sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$k = \pm \sqrt{2^{2}}$

Этап 13.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$k = \pm 2$

Этап 13.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$k = 2$

Этап 13.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$k = - 2$

Этап 13.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$k = 2, - 2$

Этап 14

Решим второе уравнение относительно $k$ .

${(k^{2})}^{1} = - 3$

Этап 15

Решим уравнение относительно $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Избавимся от скобок.

$k^{2} = - 3$

Этап 15.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$k = \pm \sqrt{- 3}$

Этап 15.3

Упростим $\pm \sqrt{- 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$k = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Этап 15.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$k = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Этап 15.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$k = \pm i \sqrt{3}$

Этап 15.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$k = i \sqrt{3}$

Этап 15.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$k = - i \sqrt{3}$

Этап 15.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$k = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Этап 16

Решением $k^{4} - k^{2} - 1 = 11$ является $k = 2, - 2, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$ .

$k = 2, - 2, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$