Элемент. математика Примеры

$| y - 1 | = \frac{2}{y}$

Этап 1

Умножим обе части на $y$ .

$| y - 1 | y = \frac{2}{y} y$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Изменим порядок множителей в $| y - 1 | y$ .

$y | y - 1 | = \frac{2}{y} y$

Этап 2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$y | y - 1 | = \frac{2}{y} y$

Этап 2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$y | y - 1 | = 2$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $y | y - 1 | = 2$ на $y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разделим каждый член $y | y - 1 | = 2$ на $y$ .

$\frac{y | y - 1 |}{y} = \frac{2}{y}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y | y - 1 |}{y} = \frac{2}{y}$

Этап 3.1.2.1.2

Разделим $| y - 1 |$ на $1$ .

$| y - 1 | = \frac{2}{y}$

Этап 3.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y - 1 = \pm \frac{2}{y}$

Этап 3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y - 1 = \frac{2}{y}$

Этап 3.3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = \frac{2}{y} + 1$

Этап 3.3.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, y, 1$

Этап 3.3.3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y$

Этап 3.3.4

Каждый член в $y = \frac{2}{y} + 1$ умножим на $y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Умножим каждый член $y = \frac{2}{y} + 1$ на $y$ .

$y \cdot y = \frac{2}{y} y + 1 y$

Этап 3.3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.1

Умножим $y$ на $y$ .

$y^{2} = \frac{2}{y} y + 1 y$

Этап 3.3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.3.1.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y^{2} = \frac{2}{y} y + 1 y$

Этап 3.3.4.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 2 + 1 y$

Этап 3.3.4.3.1.2

Умножим $y$ на $1$ .

$y^{2} = 2 + y$

Этап 3.3.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} - y = 2$

Этап 3.3.5.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} - y - 2 = 0$

Этап 3.3.5.3

Разложим $y^{2} - y - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $- 1$ .

$- 2, 1$

Этап 3.3.5.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(y - 2) (y + 1) = 0$

Этап 3.3.5.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y - 2 = 0$

$y + 1 = 0$

Этап 3.3.5.5

Приравняем $y - 2$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.5.1

Приравняем $y - 2$ к $0$ .

$y - 2 = 0$

Этап 3.3.5.5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$y = 2$

Этап 3.3.5.6

Приравняем $y + 1$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.6.1

Приравняем $y + 1$ к $0$ .

$y + 1 = 0$

Этап 3.3.5.6.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y = - 1$

Этап 3.3.5.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(y - 2) (y + 1) = 0$ верно.

$y = 2, - 1$

Этап 3.3.6

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y - 1 = - \frac{2}{y}$

Этап 3.3.7

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = - \frac{2}{y} + 1$

Этап 3.3.8

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.8.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, y, 1$

Этап 3.3.8.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y$

Этап 3.3.9

Каждый член в $y = - \frac{2}{y} + 1$ умножим на $y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.9.1

Умножим каждый член $y = - \frac{2}{y} + 1$ на $y$ .

$y \cdot y = - \frac{2}{y} y + 1 y$

Этап 3.3.9.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.9.2.1

Умножим $y$ на $y$ .

$y^{2} = - \frac{2}{y} y + 1 y$

Этап 3.3.9.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.9.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.9.3.1.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.9.3.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{y}$ в числитель.

$y^{2} = \frac{- 2}{y} y + 1 y$

Этап 3.3.9.3.1.1.2

Сократим общий множитель.

$y^{2} = \frac{- 2}{y} y + 1 y$

Этап 3.3.9.3.1.1.3

Перепишем это выражение.

$y^{2} = - 2 + 1 y$

Этап 3.3.9.3.1.2

Умножим $y$ на $1$ .

$y^{2} = - 2 + y$

Этап 3.3.10

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.10.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} - y = - 2$

Этап 3.3.10.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$y^{2} - y + 2 = 0$

Этап 3.3.10.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.3.10.4

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 1$ и $c = 2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.10.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.10.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.10.5.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.10.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.10.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.10.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.10.5.1.3

Вычтем $8$ из $1$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.10.5.1.4

Перепишем $- 7$ в виде $- 1 (7)$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.10.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (7)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.10.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$y = \frac{1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.10.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

Этап 3.3.10.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$

Этап 3.3.11

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = 2, - 1, \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$