Элемент. математика Примеры

$\sqrt{15 y + 9} - \sqrt{y + 16} = 7$

Этап 1

Добавим $\sqrt{y + 16}$ к обеим частям уравнения.

$\sqrt{15 y + 9} = 7 + \sqrt{y + 16}$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{15 y + 9}}^{2} = {(7 + \sqrt{y + 16})}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{15 y + 9}$ в виде ${(15 y + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(15 y + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(7 + \sqrt{y + 16})}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(15 y + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(15 y + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(15 y + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(7 + \sqrt{y + 16})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(15 y + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(7 + \sqrt{y + 16})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(15 y + 9)}^{1} = {(7 + \sqrt{y + 16})}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$15 y + 9 = {(7 + \sqrt{y + 16})}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(7 + \sqrt{y + 16})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(7 + \sqrt{y + 16})}^{2}$ в виде $(7 + \sqrt{y + 16}) (7 + \sqrt{y + 16})$ .

$15 y + 9 = (7 + \sqrt{y + 16}) (7 + \sqrt{y + 16})$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(7 + \sqrt{y + 16}) (7 + \sqrt{y + 16})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$15 y + 9 = 7 (7 + \sqrt{y + 16}) + \sqrt{y + 16} (7 + \sqrt{y + 16})$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$15 y + 9 = 7 \cdot 7 + 7 \sqrt{y + 16} + \sqrt{y + 16} (7 + \sqrt{y + 16})$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$15 y + 9 = 7 \cdot 7 + 7 \sqrt{y + 16} + \sqrt{y + 16} \cdot 7 + \sqrt{y + 16} \sqrt{y + 16}$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим $7$ на $7$ .

$15 y + 9 = 49 + 7 \sqrt{y + 16} + \sqrt{y + 16} \cdot 7 + \sqrt{y + 16} \sqrt{y + 16}$

Этап 3.3.1.3.1.2

Перенесем $7$ влево от $\sqrt{y + 16}$ .

$15 y + 9 = 49 + 7 \sqrt{y + 16} + 7 \cdot \sqrt{y + 16} + \sqrt{y + 16} \sqrt{y + 16}$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $\sqrt{y + 16} \sqrt{y + 16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.3.1

Возведем $\sqrt{y + 16}$ в степень $1$ .

$15 y + 9 = 49 + 7 \sqrt{y + 16} + 7 \sqrt{y + 16} + {\sqrt{y + 16}}^{1} \sqrt{y + 16}$

Этап 3.3.1.3.1.3.2

Возведем $\sqrt{y + 16}$ в степень $1$ .

$15 y + 9 = 49 + 7 \sqrt{y + 16} + 7 \sqrt{y + 16} + {\sqrt{y + 16}}^{1} {\sqrt{y + 16}}^{1}$

Этап 3.3.1.3.1.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$15 y + 9 = 49 + 7 \sqrt{y + 16} + 7 \sqrt{y + 16} + {\sqrt{y + 16}}^{1 + 1}$

Этап 3.3.1.3.1.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$15 y + 9 = 49 + 7 \sqrt{y + 16} + 7 \sqrt{y + 16} + {\sqrt{y + 16}}^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.4

Перепишем ${\sqrt{y + 16}}^{2}$ в виде $y + 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y + 16}$ в виде ${(y + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

$15 y + 9 = 49 + 7 \sqrt{y + 16} + 7 \sqrt{y + 16} + {({(y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$15 y + 9 = 49 + 7 \sqrt{y + 16} + 7 \sqrt{y + 16} + {(y + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 3.3.1.3.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$15 y + 9 = 49 + 7 \sqrt{y + 16} + 7 \sqrt{y + 16} + {(y + 16)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.1.3.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$15 y + 9 = 49 + 7 \sqrt{y + 16} + 7 \sqrt{y + 16} + {(y + 16)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.1.3.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$15 y + 9 = 49 + 7 \sqrt{y + 16} + 7 \sqrt{y + 16} + {(y + 16)}^{1}$

Этап 3.3.1.3.1.4.5

Упростим.

$15 y + 9 = 49 + 7 \sqrt{y + 16} + 7 \sqrt{y + 16} + y + 16$

Этап 3.3.1.3.2

Добавим $49$ и $16$ .

$15 y + 9 = 65 + 7 \sqrt{y + 16} + 7 \sqrt{y + 16} + y$

Этап 3.3.1.3.3

Добавим $7 \sqrt{y + 16}$ и $7 \sqrt{y + 16}$ .

$15 y + 9 = 65 + 14 \sqrt{y + 16} + y$

Этап 4

Решим относительно $14 \sqrt{y + 16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $65 + 14 \sqrt{y + 16} + y = 15 y + 9$ .

$65 + 14 \sqrt{y + 16} + y = 15 y + 9$

Этап 4.2

Перенесем все члены без $14 \sqrt{y + 16}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $65$ из обеих частей уравнения.

$14 \sqrt{y + 16} + y = 15 y + 9 - 65$

Этап 4.2.2

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$14 \sqrt{y + 16} = 15 y + 9 - 65 - y$

Этап 4.2.3

Вычтем $y$ из $15 y$ .

$14 \sqrt{y + 16} = 14 y + 9 - 65$

Этап 4.2.4

Вычтем $65$ из $9$ .

$14 \sqrt{y + 16} = 14 y - 56$

Этап 5

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(14 \sqrt{y + 16})}^{2} = {(14 y - 56)}^{2}$

Этап 6

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y + 16}$ в виде ${(y + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(14 {(y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(14 y - 56)}^{2}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим ${(14 {(y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Применим правило умножения к $14 {(y + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

$14^{2} {({(y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(14 y - 56)}^{2}$

Этап 6.2.1.2

Возведем $14$ в степень $2$ .

$196 {({(y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(14 y - 56)}^{2}$

Этап 6.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$196 {(y + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(14 y - 56)}^{2}$

Этап 6.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$196 {(y + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(14 y - 56)}^{2}$

Этап 6.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$196 {(y + 16)}^{1} = {(14 y - 56)}^{2}$

Этап 6.2.1.4

Упростим.

$196 (y + 16) = {(14 y - 56)}^{2}$

Этап 6.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$196 y + 196 \cdot 16 = {(14 y - 56)}^{2}$

Этап 6.2.1.6

Умножим $196$ на $16$ .

$196 y + 3136 = {(14 y - 56)}^{2}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим ${(14 y - 56)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Перепишем ${(14 y - 56)}^{2}$ в виде $(14 y - 56) (14 y - 56)$ .

$196 y + 3136 = (14 y - 56) (14 y - 56)$

Этап 6.3.1.2

Развернем $(14 y - 56) (14 y - 56)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$196 y + 3136 = 14 y (14 y - 56) - 56 (14 y - 56)$

Этап 6.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$196 y + 3136 = 14 y (14 y) + 14 y \cdot - 56 - 56 (14 y - 56)$

Этап 6.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$196 y + 3136 = 14 y (14 y) + 14 y \cdot - 56 - 56 (14 y) - 56 \cdot - 56$

Этап 6.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$196 y + 3136 = 14 \cdot 14 y \cdot y + 14 y \cdot - 56 - 56 (14 y) - 56 \cdot - 56$

Этап 6.3.1.3.1.2

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1.2.1

Перенесем $y$ .

$196 y + 3136 = 14 \cdot 14 (y \cdot y) + 14 y \cdot - 56 - 56 (14 y) - 56 \cdot - 56$

Этап 6.3.1.3.1.2.2

Умножим $y$ на $y$ .

$196 y + 3136 = 14 \cdot 14 y^{2} + 14 y \cdot - 56 - 56 (14 y) - 56 \cdot - 56$

Этап 6.3.1.3.1.3

Умножим $14$ на $14$ .

$196 y + 3136 = 196 y^{2} + 14 y \cdot - 56 - 56 (14 y) - 56 \cdot - 56$

Этап 6.3.1.3.1.4

Умножим $- 56$ на $14$ .

$196 y + 3136 = 196 y^{2} - 784 y - 56 (14 y) - 56 \cdot - 56$

Этап 6.3.1.3.1.5

Умножим $14$ на $- 56$ .

$196 y + 3136 = 196 y^{2} - 784 y - 784 y - 56 \cdot - 56$

Этап 6.3.1.3.1.6

Умножим $- 56$ на $- 56$ .

$196 y + 3136 = 196 y^{2} - 784 y - 784 y + 3136$

Этап 6.3.1.3.2

Вычтем $784 y$ из $- 784 y$ .

$196 y + 3136 = 196 y^{2} - 1568 y + 3136$

Этап 7

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $y$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$196 y^{2} - 1568 y + 3136 = 196 y + 3136$

Этап 7.2

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вычтем $196 y$ из обеих частей уравнения.

$196 y^{2} - 1568 y + 3136 - 196 y = 3136$

Этап 7.2.2

Вычтем $196 y$ из $- 1568 y$ .

$196 y^{2} - 1764 y + 3136 = 3136$

Этап 7.3

Вычтем $3136$ из обеих частей уравнения.

$196 y^{2} - 1764 y + 3136 - 3136 = 0$

Этап 7.4

Объединим противоположные члены в $196 y^{2} - 1764 y + 3136 - 3136$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Вычтем $3136$ из $3136$ .

$196 y^{2} - 1764 y + 0 = 0$

Этап 7.4.2

Добавим $196 y^{2} - 1764 y$ и $0$ .

$196 y^{2} - 1764 y = 0$

Этап 7.5

Вынесем множитель $196 y$ из $196 y^{2} - 1764 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Вынесем множитель $196 y$ из $196 y^{2}$ .

$196 y (y) - 1764 y = 0$

Этап 7.5.2

Вынесем множитель $196 y$ из $- 1764 y$ .

$196 y (y) + 196 y (- 9) = 0$

Этап 7.5.3

Вынесем множитель $196 y$ из $196 y (y) + 196 y (- 9)$ .

$196 y (y - 9) = 0$

Этап 7.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y = 0$

$y - 9 = 0$

Этап 7.7

Приравняем $y$ к $0$ .

$y = 0$

Этап 7.8

Приравняем $y - 9$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Приравняем $y - 9$ к $0$ .

$y - 9 = 0$

Этап 7.8.2

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$y = 9$

Этап 7.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $196 y (y - 9) = 0$ верно.

$y = 0, 9$

Этап 8

Исключим решения, которые не делают $\sqrt{15 y + 9} - \sqrt{y + 16} = 7$ истинным.

$y = 9$