Элемент. математика Примеры

$4 z^{4} - 5 z^{2} + 9 = 0$

Этап 1

Подставим $u = z^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$4 u^{2} - 5 u + 9 = 0$

$u = z^{2}$

Этап 2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3

Подставим значения $a = 4$ , $b = - 5$ и $c = 9$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 9)}}{2 \cdot 4}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 4 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- 16$ на $9$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 144}}{2 \cdot 4}$

Этап 4.1.3

Вычтем $144$ из $25$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 119}}{2 \cdot 4}$

Этап 4.1.4

Перепишем $- 119$ в виде $- 1 (119)$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 119}}{2 \cdot 4}$

Этап 4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (119)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{119}$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{119}}{2 \cdot 4}$

Этап 4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{119}}{2 \cdot 4}$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $4$ .

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{119}}{8}$

Этап 5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = \frac{5 + i \sqrt{119}}{8}, \frac{5 - i \sqrt{119}}{8}$

Этап 6

Подставим вещественное значение $u = z^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$z^{2} = \frac{5 + i \sqrt{119}}{8}$

${(z^{2})}^{1} = \frac{5 - i \sqrt{119}}{8}$

Этап 7

Решим первое уравнение относительно $z$ .

$z^{2} = \frac{5 + i \sqrt{119}}{8}$

Этап 8

Решим уравнение относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{\frac{5 + i \sqrt{119}}{8}}$

Этап 8.2

Упростим $\pm \sqrt{\frac{5 + i \sqrt{119}}{8}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Перепишем $\sqrt{\frac{5 + i \sqrt{119}}{8}}$ в виде $\frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}}}{\sqrt{8}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}}}{\sqrt{8}}$

Этап 8.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}}}{\sqrt{4 (2)}}$

Этап 8.2.2.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Этап 8.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}}}{2 \sqrt{2}}$

Этап 8.2.3

Умножим $\frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}}}{2 \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 8.2.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1

Умножим $\frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}}}{2 \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 8.2.4.2

Перенесем $\sqrt{2}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Этап 8.2.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Этап 8.2.4.4

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Этап 8.2.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 8.2.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 8.2.4.7

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 8.2.4.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 8.2.4.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.2.4.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.7.4.1

Сократим общий множитель.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.2.4.7.4.2

Перепишем это выражение.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Этап 8.2.4.7.5

Найдем экспоненту.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 8.2.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$z = \pm \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Этап 8.2.6

Умножим $2$ на $2$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

Этап 8.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$z = \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

Этап 8.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$z = - \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

Этап 8.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$z = \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}, - \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

Этап 9

Решим второе уравнение относительно $z$ .

${(z^{2})}^{1} = \frac{5 - i \sqrt{119}}{8}$

Этап 10

Решим уравнение относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Избавимся от скобок.

$z^{2} = \frac{5 - i \sqrt{119}}{8}$

Этап 10.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{\frac{5 - i \sqrt{119}}{8}}$

Этап 10.3

Упростим $\pm \sqrt{\frac{5 - i \sqrt{119}}{8}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Перепишем $\sqrt{\frac{5 - i \sqrt{119}}{8}}$ в виде $\frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}}}{\sqrt{8}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}}}{\sqrt{8}}$

Этап 10.3.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}}}{\sqrt{4 (2)}}$

Этап 10.3.2.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Этап 10.3.2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}}}{2 \sqrt{2}}$

Этап 10.3.3

Умножим $\frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}}}{2 \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 10.3.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.4.1

Умножим $\frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}}}{2 \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 10.3.4.2

Перенесем $\sqrt{2}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Этап 10.3.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Этап 10.3.4.4

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Этап 10.3.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 10.3.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 10.3.4.7

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.4.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 10.3.4.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 10.3.4.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 10.3.4.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.4.7.4.1

Сократим общий множитель.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 10.3.4.7.4.2

Перепишем это выражение.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Этап 10.3.4.7.5

Найдем экспоненту.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 10.3.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$z = \pm \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Этап 10.3.6

Умножим $2$ на $2$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

Этап 10.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$z = \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

Этап 10.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$z = - \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

Этап 10.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$z = \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}, - \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

Этап 11

Решением $4 z^{4} - 5 z^{2} + 9 = 0$ является $z = \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}, - \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}, \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}, - \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$ .

$z = \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}, - \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}, \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}, - \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$