Элемент. математика Примеры

$4 k^{\frac{4}{3}} - 65 k^{\frac{2}{3}} + 16 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $k^{\frac{4}{3}}$ в виде ${(k^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

$4 {(k^{\frac{2}{3}})}^{2} - 65 k^{\frac{2}{3}} + 16 = 0$

Этап 1.2

Пусть $u = k^{\frac{2}{3}}$ . Подставим $u$ вместо $k^{\frac{2}{3}}$ для всех.

$4 u^{2} - 65 u + 16 = 0$

Этап 1.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot 16 = 64$ , а сумма — $b = - 65$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Вынесем множитель $- 65$ из $- 65 u$ .

$4 u^{2} - 65 u + 16 = 0$

Этап 1.3.1.2

Запишем $- 65$ как $- 1$ плюс $- 64$

$4 u^{2} + (- 1 - 64) u + 16 = 0$

Этап 1.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 u^{2} - 1 u - 64 u + 16 = 0$

Этап 1.3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(4 u^{2} - 1 u) - 64 u + 16 = 0$

Этап 1.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u (4 u - 1) - 16 (4 u - 1) = 0$

Этап 1.3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (u - 16) = 0$

Этап 1.4

Заменим все вхождения $u$ на $k^{\frac{2}{3}}$ .

$(4 k^{\frac{2}{3}} - 1) (k^{\frac{2}{3}} - 16) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 k^{\frac{2}{3}} - 1 = 0$

$k^{\frac{2}{3}} - 16 = 0$

Этап 3

Приравняем $4 k^{\frac{2}{3}} - 1$ к $0$ , затем решим относительно $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $4 k^{\frac{2}{3}} - 1$ к $0$ .

$4 k^{\frac{2}{3}} - 1 = 0$

Этап 3.2

Решим $4 k^{\frac{2}{3}} - 1 = 0$ относительно $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$4 k^{\frac{2}{3}} = 1$

Этап 3.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $\frac{3}{2}$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(4 k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Упростим ${(4 k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1.1.1

Применим правило умножения к $4 k^{\frac{2}{3}}$ .

$4^{\frac{3}{2}} {(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.3.1.1.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

${(2^{2})}^{\frac{3}{2}} {(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.3.1.1.1.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{2 (\frac{3}{2})} {(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.3.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2^{2 (\frac{3}{2})} {(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$2^{3} {(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.3.1.1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1.3.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$8 {(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.3.1.1.3.2

Перемножим экспоненты в ${(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 k^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.3.1.1.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$8 k^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.3.1.1.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$8 k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.3.1.1.3.2.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1.3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$8 k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.3.1.1.3.2.3.2

Перепишем это выражение.

$8 k^{1} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.3.1.1.4

Упростим.

$8 k = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$8 k = \pm 1$

Этап 3.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$8 k = 1$

Этап 3.2.4.2

Разделим каждый член $8 k = 1$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1

Разделим каждый член $8 k = 1$ на $8$ .

$\frac{8 k}{8} = \frac{1}{8}$

Этап 3.2.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 k}{8} = \frac{1}{8}$

Этап 3.2.4.2.2.1.2

Разделим $k$ на $1$ .

$k = \frac{1}{8}$

Этап 3.2.4.3

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$8 k = - 1$

Этап 3.2.4.4

Разделим каждый член $8 k = - 1$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.4.1

Разделим каждый член $8 k = - 1$ на $8$ .

$\frac{8 k}{8} = \frac{- 1}{8}$

Этап 3.2.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.4.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 k}{8} = \frac{- 1}{8}$

Этап 3.2.4.4.2.1.2

Разделим $k$ на $1$ .

$k = \frac{- 1}{8}$

Этап 3.2.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$k = - \frac{1}{8}$

Этап 3.2.4.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$k = \frac{1}{8}, - \frac{1}{8}$

Этап 4

Приравняем $k^{\frac{2}{3}} - 16$ к $0$ , затем решим относительно $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $k^{\frac{2}{3}} - 16$ к $0$ .

$k^{\frac{2}{3}} - 16 = 0$

Этап 4.2

Решим $k^{\frac{2}{3}} - 16 = 0$ относительно $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $16$ к обеим частям уравнения.

$k^{\frac{2}{3}} = 16$

Этап 4.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $\frac{3}{2}$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 16^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Упростим ${(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 16^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$k^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 16^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 16^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.3.1.1.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 16^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.3.1.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$k^{1} = \pm 16^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.3.1.1.2

Упростим.

$k = \pm 16^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Упростим $\pm 16^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1.1.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$k = \pm {(4^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.3.2.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = \pm 4^{2 (\frac{3}{2})}$

Этап 4.2.3.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$k = \pm 4^{2 (\frac{3}{2})}$

Этап 4.2.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$k = \pm 4^{3}$

Этап 4.2.3.2.1.3

Возведем $4$ в степень $3$ .

$k = \pm 64$

Этап 4.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$k = 64$

Этап 4.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$k = - 64$

Этап 4.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$k = 64, - 64$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(4 k^{\frac{2}{3}} - 1) (k^{\frac{2}{3}} - 16) = 0$ верно.

$k = \frac{1}{8}, - \frac{1}{8}, 64, - 64$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$k = \frac{1}{8}, - \frac{1}{8}, 64, - 64$

Десятичная форма:

$k = 0.125, - 0.125, 64, - 64$