Элемент. математика Примеры

$h (x) = 3 x^{2} + 10 x + 3$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $3 x^{2} + 10 x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 x$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.3.3

Умножим $10$ на $1$ .

$6 x + 10 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 x + 10 + 0$

Этап 1.4.2

Добавим $6 x + 10$ и $0$ .

$6 x + 10$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $6 x + 10$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$h'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (10)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$h'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (10)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$h'' (x) = 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (10)$

Этап 2.2.3

Умножим $6$ на $1$ .

$h'' (x) = 6 + \frac{d}{d x} (10)$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10$ относительно $x$ равна $0$ .

$h'' (x) = 6 + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $6$ и $0$ .

$h'' (x) = 6$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$6 x + 10 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $3 x^{2} + 10 x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 x$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $10$ на $1$ .

$6 x + 10 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 x + 10 + 0$

Этап 4.1.4.2

Добавим $6 x + 10$ и $0$ .

$f' (x) = 6 x + 10$

Этап 4.2

Первая производная $h (x)$ по $x$ равна $6 x + 10$ .

$6 x + 10$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $6 x + 10 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$6 x + 10 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$6 x = - 10$

Этап 5.3

Разделим каждый член $6 x = - 10$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $6 x = - 10$ на $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 10}{6}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 10}{6}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 10}{6}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель $- 10$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 10$ .

$x = \frac{2 (- 5)}{6}$

Этап 5.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$x = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 3}$

Этап 5.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 3}$

Этап 5.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{- 5}{3}$

Этап 5.3.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{5}{3}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - \frac{5}{3}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = - \frac{5}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$6$

Этап 9

$x = - \frac{5}{3}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{5}{3}$ — локальный минимум

Этап 10

Найдем значение y, если $x = - \frac{5}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{5}{3}$ .

$h (- \frac{5}{3}) = 3 {(- \frac{5}{3})}^{2} + 10 (- \frac{5}{3}) + 3$

Этап 10.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{5}{3}$ .

$h (- \frac{5}{3}) = 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{3})}^{2}) + 10 (- \frac{5}{3}) + 3$

Этап 10.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{5}{3}$ .

$h (- \frac{5}{3}) = 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{3^{2}})) + 10 (- \frac{5}{3}) + 3$

Этап 10.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$h (- \frac{5}{3}) = 3 (1 (\frac{5^{2}}{3^{2}})) + 10 (- \frac{5}{3}) + 3$

Этап 10.2.1.3

Умножим $\frac{5^{2}}{3^{2}}$ на $1$ .

$h (- \frac{5}{3}) = 3 (\frac{5^{2}}{3^{2}}) + 10 (- \frac{5}{3}) + 3$

Этап 10.2.1.4

Возведем $5$ в степень $2$ .

$h (- \frac{5}{3}) = 3 (\frac{25}{3^{2}}) + 10 (- \frac{5}{3}) + 3$

Этап 10.2.1.5

Возведем $3$ в степень $2$ .

$h (- \frac{5}{3}) = 3 (\frac{25}{9}) + 10 (- \frac{5}{3}) + 3$

Этап 10.2.1.6

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.6.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$h (- \frac{5}{3}) = 3 (\frac{25}{3 (3)}) + 10 (- \frac{5}{3}) + 3$

Этап 10.2.1.6.2

Сократим общий множитель.

$h (- \frac{5}{3}) = 3 (\frac{25}{3 \cdot 3}) + 10 (- \frac{5}{3}) + 3$

Этап 10.2.1.6.3

Перепишем это выражение.

$h (- \frac{5}{3}) = \frac{25}{3} + 10 (- \frac{5}{3}) + 3$

Этап 10.2.1.7

Умножим $10 (- \frac{5}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.7.1

Умножим $- 1$ на $10$ .

$h (- \frac{5}{3}) = \frac{25}{3} - 10 (\frac{5}{3}) + 3$

Этап 10.2.1.7.2

Объединим $- 10$ и $\frac{5}{3}$ .

$h (- \frac{5}{3}) = \frac{25}{3} + \frac{- 10 \cdot 5}{3} + 3$

Этап 10.2.1.7.3

Умножим $- 10$ на $5$ .

$h (- \frac{5}{3}) = \frac{25}{3} + \frac{- 50}{3} + 3$

Этап 10.2.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$h (- \frac{5}{3}) = \frac{25}{3} - \frac{50}{3} + 3$

Этап 10.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$h (- \frac{5}{3}) = 3 + \frac{25 - 50}{3}$

Этап 10.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Вычтем $50$ из $25$ .

$h (- \frac{5}{3}) = 3 + \frac{- 25}{3}$

Этап 10.2.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$h (- \frac{5}{3}) = 3 - \frac{25}{3}$

Этап 10.2.3

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$h (- \frac{5}{3}) = 3 \cdot \frac{3}{3} - \frac{25}{3}$

Этап 10.2.4

Объединим $3$ и $\frac{3}{3}$ .

$h (- \frac{5}{3}) = \frac{3 \cdot 3}{3} - \frac{25}{3}$

Этап 10.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$h (- \frac{5}{3}) = \frac{3 \cdot 3 - 25}{3}$

Этап 10.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.6.1

Умножим $3$ на $3$ .

$h (- \frac{5}{3}) = \frac{9 - 25}{3}$

Этап 10.2.6.2

Вычтем $25$ из $9$ .

$h (- \frac{5}{3}) = \frac{- 16}{3}$

Этап 10.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$h (- \frac{5}{3}) = - \frac{16}{3}$

Этап 10.2.8

Окончательный ответ: $- \frac{16}{3}$ .

$y = - \frac{16}{3}$

Этап 11

Это локальные экстремумы $h (x) = 3 x^{2} + 10 x + 3$ .

$(- \frac{5}{3}, - \frac{16}{3})$ — локальный минимум

Этап 12