Алгебра Примеры

$2 x^{2} + 4 \leq 8 x$

Этап 1

Вычтем $8 x$ из обеих частей неравенства.

$2 x^{2} + 4 - 8 x \leq 0$

Этап 2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$2 x^{2} + 4 - 8 x = 0$

Этап 3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} + 4 - 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) + 4 - 8 x = 0$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 x^{2} + 2 \cdot 2 - 8 x = 0$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $2$ из $- 8 x$ .

$2 x^{2} + 2 \cdot 2 + 2 (- 4 x) = 0$

Этап 3.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} + 2 \cdot 2$ .

$2 (x^{2} + 2) + 2 (- 4 x) = 0$

Этап 3.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{2} + 2) + 2 (- 4 x)$ .

$2 (x^{2} + 2 - 4 x) = 0$

Этап 3.2

Изменим порядок членов.

$2 (x^{2} - 4 x + 2) = 0$

Этап 4

Разделим каждый член $2 (x^{2} - 4 x + 2) = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $2 (x^{2} - 4 x + 2) = 0$ на $2$ .

$\frac{2 (x^{2} - 4 x + 2)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (x^{2} - 4 x + 2)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $x^{2} - 4 x + 2$ на $1$ .

$x^{2} - 4 x + 2 = \frac{0}{2}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x^{2} - 4 x + 2 = 0$

Этап 5

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 6

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 4$ и $c = 2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.2.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.3

Вычтем $8$ из $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.4

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 7.3

Упростим $\frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{2}$

Этап 8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 2 + \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2}$

Этап 9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 2 - \sqrt{2}$

$2 - \sqrt{2} < x < 2 + \sqrt{2}$

$x > 2 + \sqrt{2}$

Этап 10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проверим значение на интервале $x < 2 - \sqrt{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Выберем значение на интервале $x < 2 - \sqrt{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 10.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$2 {(0)}^{2} + 4 \leq 8 (0)$

Этап 10.1.3

Левая часть $4$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 10.2

Проверим значение на интервале $2 - \sqrt{2} < x < 2 + \sqrt{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Выберем значение на интервале $2 - \sqrt{2} < x < 2 + \sqrt{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 10.2.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$2 {(2)}^{2} + 4 \leq 8 (2)$

Этап 10.2.3

Левая часть $12$ меньше правой части $16$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 10.3

Проверим значение на интервале $x > 2 + \sqrt{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Выберем значение на интервале $x > 2 + \sqrt{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 10.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$2 {(6)}^{2} + 4 \leq 8 (6)$

Этап 10.3.3

Левая часть $76$ больше правой части $48$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 10.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 2 - \sqrt{2}$ Ложь

$2 - \sqrt{2} < x < 2 + \sqrt{2}$ Истина

$x > 2 + \sqrt{2}$ Ложь

$x < 2 - \sqrt{2}$ Ложь

$2 - \sqrt{2} < x < 2 + \sqrt{2}$ Истина

$x > 2 + \sqrt{2}$ Ложь

Этап 11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$2 - \sqrt{2} \leq x \leq 2 + \sqrt{2}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$2 - \sqrt{2} \leq x \leq 2 + \sqrt{2}$

Интервальное представление:

$[2 - \sqrt{2}, 2 + \sqrt{2}]$

Этап 13