Алгебра Примеры

$\frac{2 y^{2} - 7 y - 15}{3 y^{2} - 8 y - 3} \cdot \frac{9 y^{2} - 1}{4 y^{2} - 9} \div \frac{y^{2} + 3 y - 10}{2 y^{2} - 9 y + 9}$

Этап 1

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную к ней дробь.

$\frac{2 y^{2} - 7 y - 15}{3 y^{2} - 8 y - 3} \cdot \frac{9 y^{2} - 1}{4 y^{2} - 9} \frac{2 y^{2} - 9 y + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Этап 2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ , а сумма — $b = - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $- 7$ из $- 7 y$ .

$\frac{2 y^{2} - 7 (y) - 15}{3 y^{2} - 8 y - 3} \cdot \frac{9 y^{2} - 1}{4 y^{2} - 9} \frac{2 y^{2} - 9 y + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Этап 2.1.2

Запишем $- 7$ как $3$ плюс $- 10$

$\frac{2 y^{2} + (3 - 10) y - 15}{3 y^{2} - 8 y - 3} \cdot \frac{9 y^{2} - 1}{4 y^{2} - 9} \frac{2 y^{2} - 9 y + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Этап 2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 y^{2} + 3 y - 10 y - 15}{3 y^{2} - 8 y - 3} \cdot \frac{9 y^{2} - 1}{4 y^{2} - 9} \frac{2 y^{2} - 9 y + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Этап 2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(2 y^{2} + 3 y) - 10 y - 15}{3 y^{2} - 8 y - 3} \cdot \frac{9 y^{2} - 1}{4 y^{2} - 9} \frac{2 y^{2} - 9 y + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Этап 2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{y (2 y + 3) - 5 (2 y + 3)}{3 y^{2} - 8 y - 3} \cdot \frac{9 y^{2} - 1}{4 y^{2} - 9} \frac{2 y^{2} - 9 y + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Этап 2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 y + 3$ .

$\frac{(2 y + 3) (y - 5)}{3 y^{2} - 8 y - 3} \cdot \frac{9 y^{2} - 1}{4 y^{2} - 9} \frac{2 y^{2} - 9 y + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Этап 3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 3 = - 9$ , а сумма — $b = - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $- 8$ из $- 8 y$ .

$\frac{(2 y + 3) (y - 5)}{3 y^{2} - 8 (y) - 3} \cdot \frac{9 y^{2} - 1}{4 y^{2} - 9} \frac{2 y^{2} - 9 y + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Этап 3.1.2

Запишем $- 8$ как $1$ плюс $- 9$

$\frac{(2 y + 3) (y - 5)}{3 y^{2} + (1 - 9) y - 3} \cdot \frac{9 y^{2} - 1}{4 y^{2} - 9} \frac{2 y^{2} - 9 y + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Этап 3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 y + 3) (y - 5)}{3 y^{2} + 1 y - 9 y - 3} \cdot \frac{9 y^{2} - 1}{4 y^{2} - 9} \frac{2 y^{2} - 9 y + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Этап 3.1.4

Умножим $y$ на $1$ .

$\frac{(2 y + 3) (y - 5)}{3 y^{2} + y - 9 y - 3} \cdot \frac{9 y^{2} - 1}{4 y^{2} - 9} \frac{2 y^{2} - 9 y + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Этап 3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(2 y + 3) (y - 5)}{(3 y^{2} + y) - 9 y - 3} \cdot \frac{9 y^{2} - 1}{4 y^{2} - 9} \frac{2 y^{2} - 9 y + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Этап 3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{(2 y + 3) (y - 5)}{y (3 y + 1) - 3 (3 y + 1)} \cdot \frac{9 y^{2} - 1}{4 y^{2} - 9} \frac{2 y^{2} - 9 y + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Этап 3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 y + 1$ .

$\frac{(2 y + 3) (y - 5)}{(3 y + 1) (y - 3)} \cdot \frac{9 y^{2} - 1}{4 y^{2} - 9} \frac{2 y^{2} - 9 y + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $9 y^{2}$ в виде ${(3 y)}^{2}$ .

$\frac{(2 y + 3) (y - 5)}{(3 y + 1) (y - 3)} \cdot \frac{{(3 y)}^{2} - 1}{4 y^{2} - 9} \frac{2 y^{2} - 9 y + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Этап 4.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{(2 y + 3) (y - 5)}{(3 y + 1) (y - 3)} \cdot \frac{{(3 y)}^{2} - 1^{2}}{4 y^{2} - 9} \frac{2 y^{2} - 9 y + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Этап 4.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 3 y$ и $b = 1$ .

$\frac{(2 y + 3) (y - 5)}{(3 y + 1) (y - 3)} \cdot \frac{(3 y + 1) (3 y - 1)}{4 y^{2} - 9} \frac{2 y^{2} - 9 y + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Этап 5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $4 y^{2}$ в виде ${(2 y)}^{2}$ .

$\frac{(2 y + 3) (y - 5)}{(3 y + 1) (y - 3)} \cdot \frac{(3 y + 1) (3 y - 1)}{{(2 y)}^{2} - 9} \frac{2 y^{2} - 9 y + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Этап 5.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{(2 y + 3) (y - 5)}{(3 y + 1) (y - 3)} \cdot \frac{(3 y + 1) (3 y - 1)}{{(2 y)}^{2} - 3^{2}} \frac{2 y^{2} - 9 y + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Этап 5.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2 y$ и $b = 3$ .

$\frac{(2 y + 3) (y - 5)}{(3 y + 1) (y - 3)} \cdot \frac{(3 y + 1) (3 y - 1)}{(2 y + 3) (2 y - 3)} \frac{2 y^{2} - 9 y + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Этап 6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель $2 y + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(2 y + 3) (y - 5)}{(3 y + 1) (y - 3)} \cdot \frac{(3 y + 1) (3 y - 1)}{(2 y + 3) (2 y - 3)} \frac{2 y^{2} - 9 y + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Этап 6.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y - 5}{(3 y + 1) (y - 3)} \cdot \frac{(3 y + 1) (3 y - 1)}{2 y - 3} \frac{2 y^{2} - 9 y + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $3 y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y - 5}{(3 y + 1) (y - 3)} \cdot \frac{(3 y + 1) (3 y - 1)}{2 y - 3} \frac{2 y^{2} - 9 y + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Этап 6.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y - 5}{y - 3} \cdot \frac{3 y - 1}{2 y - 3} \frac{2 y^{2} - 9 y + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Этап 6.3

Умножим $\frac{y - 5}{y - 3}$ на $\frac{3 y - 1}{2 y - 3}$ .

$\frac{(y - 5) (3 y - 1)}{(y - 3) (2 y - 3)} \cdot \frac{2 y^{2} - 9 y + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Этап 7

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 9 = 18$ , а сумма — $b = - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вынесем множитель $- 9$ из $- 9 y$ .

$\frac{(y - 5) (3 y - 1)}{(y - 3) (2 y - 3)} \cdot \frac{2 y^{2} - 9 (y) + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Этап 7.1.2

Запишем $- 9$ как $- 3$ плюс $- 6$

$\frac{(y - 5) (3 y - 1)}{(y - 3) (2 y - 3)} \cdot \frac{2 y^{2} + (- 3 - 6) y + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Этап 7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(y - 5) (3 y - 1)}{(y - 3) (2 y - 3)} \cdot \frac{2 y^{2} - 3 y - 6 y + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Этап 7.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(y - 5) (3 y - 1)}{(y - 3) (2 y - 3)} \cdot \frac{(2 y^{2} - 3 y) - 6 y + 9}{y^{2} + 3 y - 10}$

Этап 7.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{(y - 5) (3 y - 1)}{(y - 3) (2 y - 3)} \cdot \frac{y (2 y - 3) - 3 (2 y - 3)}{y^{2} + 3 y - 10}$

Этап 7.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 y - 3$ .

$\frac{(y - 5) (3 y - 1)}{(y - 3) (2 y - 3)} \cdot \frac{(2 y - 3) (y - 3)}{y^{2} + 3 y - 10}$

Этап 8

Разложим $y^{2} + 3 y - 10$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 10$ , а сумма — $3$ .

$- 2, 5$

Этап 8.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(y - 5) (3 y - 1)}{(y - 3) (2 y - 3)} \cdot \frac{(2 y - 3) (y - 3)}{(y - 2) (y + 5)}$

Этап 9

Сократим общий множитель $(2 y - 3) (y - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем множитель $(2 y - 3) (y - 3)$ из $(y - 3) (2 y - 3)$ .

$\frac{(y - 5) (3 y - 1)}{(2 y - 3) (y - 3) (1)} \cdot \frac{(2 y - 3) (y - 3)}{(y - 2) (y + 5)}$

Этап 9.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(y - 5) (3 y - 1)}{(2 y - 3) (y - 3) \cdot 1} \cdot \frac{(2 y - 3) (y - 3)}{(y - 2) (y + 5)}$

Этап 9.3

Перепишем это выражение.

$(y - 5) (3 y - 1) \frac{1}{(y - 2) (y + 5)}$

Этап 10

Развернем $(y - 5) (3 y - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(y (3 y - 1) - 5 (3 y - 1)) \frac{1}{(y - 2) (y + 5)}$

Этап 10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(y (3 y) + y \cdot - 1 - 5 (3 y - 1)) \frac{1}{(y - 2) (y + 5)}$

Этап 10.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(y (3 y) + y \cdot - 1 - 5 (3 y) - 5 \cdot - 1) \frac{1}{(y - 2) (y + 5)}$

Этап 11

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(3 y \cdot y + y \cdot - 1 - 5 (3 y) - 5 \cdot - 1) \frac{1}{(y - 2) (y + 5)}$

Этап 11.1.2

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.2.1

Перенесем $y$ .

$(3 (y \cdot y) + y \cdot - 1 - 5 (3 y) - 5 \cdot - 1) \frac{1}{(y - 2) (y + 5)}$

Этап 11.1.2.2

Умножим $y$ на $y$ .

$(3 y^{2} + y \cdot - 1 - 5 (3 y) - 5 \cdot - 1) \frac{1}{(y - 2) (y + 5)}$

Этап 11.1.3

Перенесем $- 1$ влево от $y$ .

$(3 y^{2} - 1 \cdot y - 5 (3 y) - 5 \cdot - 1) \frac{1}{(y - 2) (y + 5)}$

Этап 11.1.4

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$(3 y^{2} - y - 5 (3 y) - 5 \cdot - 1) \frac{1}{(y - 2) (y + 5)}$

Этап 11.1.5

Умножим $3$ на $- 5$ .

$(3 y^{2} - y - 15 y - 5 \cdot - 1) \frac{1}{(y - 2) (y + 5)}$

Этап 11.1.6

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$(3 y^{2} - y - 15 y + 5) \frac{1}{(y - 2) (y + 5)}$

Этап 11.2

Вычтем $15 y$ из $- y$ .

$(3 y^{2} - 16 y + 5) \frac{1}{(y - 2) (y + 5)}$

Этап 12

Умножим $3 y^{2} - 16 y + 5$ на $\frac{1}{(y - 2) (y + 5)}$ .

$\frac{3 y^{2} - 16 y + 5}{(y - 2) (y + 5)}$

Этап 13

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot 5 = 15$ , а сумма — $b = - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Вынесем множитель $- 16$ из $- 16 y$ .

$\frac{3 y^{2} - 16 (y) + 5}{(y - 2) (y + 5)}$

Этап 13.1.2

Запишем $- 16$ как $- 1$ плюс $- 15$

$\frac{3 y^{2} + (- 1 - 15) y + 5}{(y - 2) (y + 5)}$

Этап 13.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 y^{2} - 1 y - 15 y + 5}{(y - 2) (y + 5)}$

Этап 13.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(3 y^{2} - 1 y) - 15 y + 5}{(y - 2) (y + 5)}$

Этап 13.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{y (3 y - 1) - 5 (3 y - 1)}{(y - 2) (y + 5)}$

Этап 13.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 y - 1$ .

$\frac{(3 y - 1) (y - 5)}{(y - 2) (y + 5)}$