Алгебра Примеры

$y = \frac{e^{x^{8}}}{2}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{e^{y^{8}}}{2}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{e^{y^{8}}}{2} = x$ .

$\frac{e^{y^{8}}}{2} = x$

Этап 2.2

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{e^{y^{8}}}{2} = 2 x$

Этап 2.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{e^{y^{8}}}{2} = 2 x$

Этап 2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$e^{y^{8}} = 2 x$

Этап 2.4

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{y^{8}}) = \ln (2 x)$

Этап 2.5

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Развернем $\ln (e^{y^{8}})$ , вынося $y^{8}$ из логарифма.

$y^{8} \ln (e) = \ln (2 x)$

Этап 2.5.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$y^{8} \cdot 1 = \ln (2 x)$

Этап 2.5.3

Умножим $y^{8}$ на $1$ .

$y^{8} = \ln (2 x)$

Этап 2.6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

Этап 2.7

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

Этап 2.7.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

Этап 2.7.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

$y = - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

$y = \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

$y = - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

$y = \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

$y = - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[8]{\ln (2 x)}, - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \sqrt[8]{\ln (2 x)}, - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$ обратной к $f (x) = \frac{e^{x^{8}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = \frac{e^{x^{8}}}{2}$ и $f^{- 1} (x) = \sqrt[8]{\ln (2 x)}, - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$ и сравним их.

Этап 4.2

Найдем множество значений $f (x) = \frac{e^{x^{8}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[\frac{1}{2}, \infty)$

Этап 4.3

Найдем область определения $\sqrt[8]{\ln (2 x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Зададим аргумент в $\ln (2 x)$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$2 x > 0$

Этап 4.3.2

Разделим каждый член $2 x > 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Разделим каждый член $2 x > 0$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} > \frac{0}{2}$

Этап 4.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} > \frac{0}{2}$

Этап 4.3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x > \frac{0}{2}$

Этап 4.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x > 0$

Этап 4.3.3

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt[8]{\ln (2 x)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\ln (2 x) \geq 0$

Этап 4.3.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Преобразуем неравенство в равенство.

$\ln (2 x) = 0$

Этап 4.3.4.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.1

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (2 x)} = e^{0}$

Этап 4.3.4.2.2

Перепишем $\ln (2 x) = 0$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{0} = 2 x$

Этап 4.3.4.2.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.3.1

Перепишем уравнение в виде $2 x = e^{0}$ .

$2 x = e^{0}$

Этап 4.3.4.2.3.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$2 x = 1$

Этап 4.3.4.2.3.3

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.3.3.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 4.3.4.2.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.3.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 4.3.4.2.3.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 4.3.4.3

Найдем область определения $\ln (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.3.1

Зададим аргумент в $\ln (2 x)$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$2 x > 0$

Этап 4.3.4.3.2

Разделим каждый член $2 x > 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.3.2.1

Разделим каждый член $2 x > 0$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} > \frac{0}{2}$

Этап 4.3.4.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.3.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} > \frac{0}{2}$

Этап 4.3.4.3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x > \frac{0}{2}$

Этап 4.3.4.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.3.2.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x > 0$

Этап 4.3.4.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(0, \infty)$

Этап 4.3.4.4

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \geq \frac{1}{2}$

Этап 4.3.5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[\frac{1}{2}, \infty)$

Этап 4.4

Найдем область определения $f (x) = \frac{e^{x^{8}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 4.5

Так как область определения $f^{- 1} (x) = \sqrt[8]{\ln (2 x)}, - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = \frac{e^{x^{8}}}{2}$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = \sqrt[8]{\ln (2 x)}, - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$ , представляет область определения $f (x) = \frac{e^{x^{8}}}{2}$ , то $f^{- 1} (x) = \sqrt[8]{\ln (2 x)}, - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$ — обратная к $f (x) = \frac{e^{x^{8}}}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[8]{\ln (2 x)}, - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

Этап 5