Алгебра Примеры

$(3 x^{3} - 3 - 6 x) \div (3 + 3 x)$

Этап 1

Запишем деление в виде дроби.

$\frac{3 x^{3} - 3 - 6 x}{3 + 3 x}$

Этап 2

Сократим общий множитель $3 x^{3} - 3 - 6 x$ и $3 + 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{3}$ .

$\frac{3 (x^{3}) - 3 - 6 x}{3 + 3 x}$

Этап 2.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$\frac{3 (x^{3}) + 3 \cdot - 1 - 6 x}{3 + 3 x}$

Этап 2.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (x^{3}) + 3 (- 1)$ .

$\frac{3 (x^{3} - 1) - 6 x}{3 + 3 x}$

Этап 2.4

Вынесем множитель $3$ из $- 6 x$ .

$\frac{3 (x^{3} - 1) + 3 (- 2 x)}{3 + 3 x}$

Этап 2.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (x^{3} - 1) + 3 (- 2 x)$ .

$\frac{3 (x^{3} - 1 - 2 x)}{3 + 3 x}$

Этап 2.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 (x^{3} - 1 - 2 x)}{3 \cdot 1 + 3 x}$

Этап 2.6.2

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$\frac{3 (x^{3} - 1 - 2 x)}{3 \cdot 1 + 3 (x)}$

Этап 2.6.3

Вынесем множитель $3$ из $3 \cdot 1 + 3 (x)$ .

$\frac{3 (x^{3} - 1 - 2 x)}{3 \cdot (1 + x)}$

Этап 2.6.4

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (x^{3} - 1 - 2 x)}{3 \cdot (1 + x)}$

Этап 2.6.5

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{3} - 1 - 2 x}{1 + x}$

Этап 3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Изменим порядок членов.

$\frac{x^{3} - 2 x - 1}{1 + x}$

Этап 3.2

Разложим $x^{3} - 2 x - 1$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

Этап 3.2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1$

Этап 3.2.3

Подставим $- 1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Подставим $- 1$ в многочлен.

${(- 1)}^{3} - 2 \cdot - 1 - 1$

Этап 3.2.3.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- 1 - 2 \cdot - 1 - 1$

Этап 3.2.3.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$- 1 + 2 - 1$

Этап 3.2.3.4

Добавим $- 1$ и $2$ .

$1 - 1$

Этап 3.2.3.5

Вычтем $1$ из $1$ .

$0$

Этап 3.2.4

Поскольку $- 1$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 2 x - 1}{x + 1}$

Этап 3.2.5

Разделим $x^{3} - 2 x - 1$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

Этап 3.2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$

Этап 3.2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 3.2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 3.2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$

Этап 3.2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$

Этап 3.2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$

Этап 3.2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

Этап 3.2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{2} - x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Этап 3.2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$x$

Этап 3.2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$x$	-	$1$

Этап 3.2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$x$	-	$1$

Этап 3.2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$x$	-	$1$
							-	$x$	-	$1$

Этап 3.2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x - 1$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$x$	-	$1$
							+	$x$	+	$1$

Этап 3.2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$x$	-	$1$
							+	$x$	+	$1$
										$0$

Этап 3.2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - x - 1$

Этап 3.2.6

Запишем $x^{3} - 2 x - 1$ в виде набора множителей.

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x - 1)}{1 + x}$

Этап 4

Сократим общий множитель $x + 1$ и $1 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок членов.

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x - 1)}{x + 1}$

Этап 4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x - 1)}{x + 1}$

Этап 4.3

Разделим $x^{2} - x - 1$ на $1$ .

$x^{2} - x - 1$