Алгебра Примеры

$\frac{1}{x} + \frac{x}{2} = \frac{11}{6}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x, 2, 6$

Этап 1.2

Так как $x, 2, 6$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $1, 2, 6$ , затем найдем НОК для части с переменной $x^{1}$ .

Этап 1.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.5

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 1.6

У $6$ есть множители: $2$ и $3$ .

$2 \cdot 3$

Этап 1.7

Умножим $2$ на $3$ .

$6$

Этап 1.8

Множителем $x^{1}$ является само значение $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ встречается $1$ раз.

Этап 1.9

НОК $x^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x$

Этап 1.10

НОК $x, 2, 6$ представляет собой произведение числовой части $6$ и переменной части.

$6 x$

Этап 2

Каждый член в $\frac{1}{x} + \frac{x}{2} = \frac{11}{6}$ умножим на $6 x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{1}{x} + \frac{x}{2} = \frac{11}{6}$ на $6 x$ .

$\frac{1}{x} (6 x) + \frac{x}{2} (6 x) = \frac{11}{6} (6 x)$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$6 \frac{1}{x} x + \frac{x}{2} (6 x) = \frac{11}{6} (6 x)$

Этап 2.2.1.2

Объединим $6$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{6}{x} x + \frac{x}{2} (6 x) = \frac{11}{6} (6 x)$

Этап 2.2.1.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6}{x} x + \frac{x}{2} (6 x) = \frac{11}{6} (6 x)$

Этап 2.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$6 + \frac{x}{2} (6 x) = \frac{11}{6} (6 x)$

Этап 2.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$6 + 6 \frac{x}{2} x = \frac{11}{6} (6 x)$

Этап 2.2.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$6 + 2 (3) \frac{x}{2} x = \frac{11}{6} (6 x)$

Этап 2.2.1.5.2

Сократим общий множитель.

$6 + 2 \cdot 3 \frac{x}{2} x = \frac{11}{6} (6 x)$

Этап 2.2.1.5.3

Перепишем это выражение.

$6 + 3 x \cdot x = \frac{11}{6} (6 x)$

Этап 2.2.1.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.6.1

Перенесем $x$ .

$6 + 3 (x \cdot x) = \frac{11}{6} (6 x)$

Этап 2.2.1.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$6 + 3 x^{2} = \frac{11}{6} (6 x)$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $6$ из $6 x$ .

$6 + 3 x^{2} = \frac{11}{6} (6 (x))$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель.

$6 + 3 x^{2} = \frac{11}{6} (6 x)$

Этап 2.3.1.3

Перепишем это выражение.

$6 + 3 x^{2} = 11 x$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $11 x$ из обеих частей уравнения.

$6 + 3 x^{2} - 11 x = 0$

Этап 3.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Изменим порядок членов.

$3 x^{2} - 11 x + 6 = 0$

Этап 3.2.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot 6 = 18$ , а сумма — $b = - 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вынесем множитель $- 11$ из $- 11 x$ .

$3 x^{2} - 11 x + 6 = 0$

Этап 3.2.2.2

Запишем $- 11$ как $- 2$ плюс $- 9$

$3 x^{2} + (- 2 - 9) x + 6 = 0$

Этап 3.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} - 2 x - 9 x + 6 = 0$

Этап 3.2.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(3 x^{2} - 2 x) - 9 x + 6 = 0$

Этап 3.2.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (3 x - 2) - 3 (3 x - 2) = 0$

Этап 3.2.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x - 2$ .

$(3 x - 2) (x - 3) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x - 2 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $3 x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $3 x - 2$ к $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Этап 3.4.2

Решим $3 x - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 2$

Этап 3.4.2.2

Разделим каждый член $3 x = 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 2$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Этап 3.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Этап 3.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Этап 3.5

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 3.5.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 x - 2) (x - 3) = 0$ верно.

$x = \frac{2}{3}, 3$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{2}{3}, 3$

Десятичная форма:

$x = 0.\overline{6}, 3$