Алгебра Примеры

$x^{4} - x^{3} - 11 x^{2} + 9 x + 18 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перегруппируем члены.

$- x^{3} + 9 x + x^{4} - 11 x^{2} + 18 = 0$

Этап 1.2

Вынесем множитель $- x$ из $- x^{3} + 9 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $- x$ из $- x^{3}$ .

$- x \cdot x^{2} + 9 x + x^{4} - 11 x^{2} + 18 = 0$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $- x$ из $9 x$ .

$- x \cdot x^{2} - x \cdot - 9 + x^{4} - 11 x^{2} + 18 = 0$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $- x$ из $- x (x^{2}) - x (- 9)$ .

$- x (x^{2} - 9) + x^{4} - 11 x^{2} + 18 = 0$

Этап 1.3

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$- x (x^{2} - 3^{2}) + x^{4} - 11 x^{2} + 18 = 0$

Этап 1.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$- x ((x + 3) (x - 3)) + x^{4} - 11 x^{2} + 18 = 0$

Этап 1.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- x (x + 3) (x - 3) + x^{4} - 11 x^{2} + 18 = 0$

Этап 1.5

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + {(x^{2})}^{2} - 11 x^{2} + 18 = 0$

Этап 1.6

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$- x (x + 3) (x - 3) + u^{2} - 11 u + 18 = 0$

Этап 1.7

Разложим $u^{2} - 11 u + 18$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $18$ , а сумма — $- 11$ .

$- 9, - 2$

Этап 1.7.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- x (x + 3) (x - 3) + (u - 9) (u - 2) = 0$

Этап 1.8

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x^{2} - 2) = 0$

Этап 1.9

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 3^{2}) (x^{2} - 2) = 0$

Этап 1.10

$- x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 2) = 0$

Этап 1.11

Вынесем множитель $(x + 3) (x - 3)$ из $- x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.1

Вынесем множитель $(x + 3) (x - 3)$ из $- x (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (- x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 2) = 0$

Этап 1.11.2

Вынесем множитель $(x + 3) (x - 3)$ из $(x + 3) (x - 3) (- x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 2)$ .

$(x + 3) (x - 3) (- x + x^{2} - 2) = 0$

Этап 1.12

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$(x + 3) (x - 3) (- u + u^{2} - 2) = 0$

Этап 1.13

Разложим $- u + u^{2} - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.13.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $- 1$ .

$- 2, 1$

Этап 1.13.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x + 3) (x - 3) ((u - 2) (u + 1)) = 0$

Этап 1.14

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.14.1

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(x + 3) (x - 3) ((x - 2) (x + 1)) = 0$

Этап 1.14.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 3) (x - 3) (x - 2) (x + 1) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 3

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 3.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 4

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 4.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 5

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 6

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 6.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 3) (x - 3) (x - 2) (x + 1) = 0$ верно.

$x = - 3, 3, 2, - 1$

Этап 8