Алгебра Примеры

$\frac{2}{x + 1} + \frac{5}{2 x} = 2$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x + 1, 2 x, 1$

Этап 1.2

Поскольку $x + 1, 2 x, 1$ содержит как числа, так и переменные, для нахождения наименьшего общего кратного требуется четыре этапа. Найдем наименьшее общее кратное для числовой, переменной и составной переменной частей. Затем перемножим их.

Этапы поиска НОК для $x + 1, 2 x, 1$ :

1. Найдем НОК для числовой части $1, 2, 1$ .

2. Найдем НОК для переменной части $x^{1}$ .

3. Найдем НОК для составной переменной части $x + 1$ .

4. Перемножим все НОК.

Этап 1.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.5

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 1.6

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.7

НОК $1, 2, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2$

Этап 1.8

Множителем $x^{1}$ является само значение $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ встречается $1$ раз.

Этап 1.9

НОК $x^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x$

Этап 1.10

Множителем $x + 1$ является само значение $x + 1$ .

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.11

НОК $x + 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x + 1$

Этап 1.12

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$2 x (x + 1)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{2}{x + 1} + \frac{5}{2 x} = 2$ умножим на $2 x (x + 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{2}{x + 1} + \frac{5}{2 x} = 2$ на $2 x (x + 1)$ .

$\frac{2}{x + 1} (2 x (x + 1)) + \frac{5}{2 x} (2 x (x + 1)) = 2 (2 x (x + 1))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \frac{2}{x + 1} (x (x + 1)) + \frac{5}{2 x} (2 x (x + 1)) = 2 (2 x (x + 1))$

Этап 2.2.1.2

Умножим $2 \frac{2}{x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Объединим $2$ и $\frac{2}{x + 1}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{x + 1} (x (x + 1)) + \frac{5}{2 x} (2 x (x + 1)) = 2 (2 x (x + 1))$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4}{x + 1} (x (x + 1)) + \frac{5}{2 x} (2 x (x + 1)) = 2 (2 x (x + 1))$

Этап 2.2.1.3

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Вынесем множитель $x + 1$ из $x (x + 1)$ .

$\frac{4}{x + 1} ((x + 1) x) + \frac{5}{2 x} (2 x (x + 1)) = 2 (2 x (x + 1))$

Этап 2.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{x + 1} ((x + 1) x) + \frac{5}{2 x} (2 x (x + 1)) = 2 (2 x (x + 1))$

Этап 2.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$4 x + \frac{5}{2 x} (2 x (x + 1)) = 2 (2 x (x + 1))$

Этап 2.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 x + 2 \frac{5}{2 x} (x (x + 1)) = 2 (2 x (x + 1))$

Этап 2.2.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$4 x + 2 \frac{5}{2 (x)} (x (x + 1)) = 2 (2 x (x + 1))$

Этап 2.2.1.5.2

Сократим общий множитель.

$4 x + 2 \frac{5}{2 x} (x (x + 1)) = 2 (2 x (x + 1))$

Этап 2.2.1.5.3

Перепишем это выражение.

$4 x + \frac{5}{x} (x (x + 1)) = 2 (2 x (x + 1))$

Этап 2.2.1.6

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.6.1

Сократим общий множитель.

$4 x + \frac{5}{x} (x (x + 1)) = 2 (2 x (x + 1))$

Этап 2.2.1.6.2

Перепишем это выражение.

$4 x + 5 (x + 1) = 2 (2 x (x + 1))$

Этап 2.2.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 5 x + 5 \cdot 1 = 2 (2 x (x + 1))$

Этап 2.2.1.8

Умножим $5$ на $1$ .

$4 x + 5 x + 5 = 2 (2 x (x + 1))$

Этап 2.2.2

Добавим $4 x$ и $5 x$ .

$9 x + 5 = 2 (2 x (x + 1))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x + 5 = 2 (2 x \cdot x + 2 x \cdot 1)$

Этап 2.3.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Перенесем $x$ .

$9 x + 5 = 2 (2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1)$

Этап 2.3.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$9 x + 5 = 2 (2 x^{2} + 2 x \cdot 1)$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$9 x + 5 = 2 (2 x^{2} + 2 x)$

Этап 2.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x + 5 = 2 (2 x^{2}) + 2 (2 x)$

Этап 2.3.5

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$9 x + 5 = 4 x^{2} + 2 (2 x)$

Этап 2.3.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$9 x + 5 = 4 x^{2} + 4 x$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$4 x^{2} + 4 x = 9 x + 5$

Этап 3.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $9 x$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} + 4 x - 9 x = 5$

Этап 3.2.2

Вычтем $9 x$ из $4 x$ .

$4 x^{2} - 5 x = 5$

Этап 3.3

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} - 5 x - 5 = 0$

Этап 3.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.5

Подставим значения $a = 4$ , $b = - 5$ и $c = - 5$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 5)}}{2 \cdot 4}$

Этап 3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 4}$

Этап 3.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16 \cdot - 5}}{2 \cdot 4}$

Этап 3.6.1.2.2

Умножим $- 16$ на $- 5$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 80}}{2 \cdot 4}$

Этап 3.6.1.3

Добавим $25$ и $80$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{105}}{2 \cdot 4}$

Этап 3.6.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{105}}{8}$

Этап 3.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{5 + \sqrt{105}}{8}, \frac{5 - \sqrt{105}}{8}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{5 + \sqrt{105}}{8}, \frac{5 - \sqrt{105}}{8}$

Десятичная форма:

$x = 1.90586884 \dots, - 0.65586884 \dots$