Алгебра Примеры

$[\sin^{2} (θ) - 2 \sin (θ) + 1] = [0]$ , $[i f \cdot 0] \leq θ \leq [2 π]$

Этап 1

Подставим $u$ вместо $\sin (θ)$ .

${(u)}^{2} - 2 u + 1 = 0$

Этап 2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$u^{2} - 2 u + 1^{2} = 0$

Этап 2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Этап 2.3

Перепишем многочлен.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Этап 2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 1$ .

${(u - 1)}^{2} = 0$

Этап 3

Приравняем $u - 1$ к $0$ .

$u - 1 = 0$

Этап 4

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$u = 1$

Этап 5

Подставим $\sin (θ)$ вместо $u$ .

$\sin (θ) = 1$

Этап 6

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из синуса.

$θ = \arcsin (1)$

Этап 7

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Точное значение $\arcsin (1)$ : $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Этап 8

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$θ = π - \frac{π}{2}$

Этап 9

Упростим $π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$θ = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 9.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 9.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$θ = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 9.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$θ = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Этап 9.3.2

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Этап 10

Найдем период $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 10.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 10.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 10.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 11

Период функции $\sin (θ)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 12

Подставим $0$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $[0, 2 π]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Подставим $0$ вместо $n$ .

$\frac{π}{2} + 2 π (0)$

Этап 12.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Умножим $2 π (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Умножим $0$ на $2$ .

$\frac{π}{2} + 0 π$

Этап 12.2.1.2

Умножим $0$ на $π$ .

$\frac{π}{2} + 0$

Этап 12.2.2

Добавим $\frac{π}{2}$ и $0$ .

$\frac{π}{2}$

Этап 12.3

Интервал $[0, 2 π]$ содержит $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$