Алгебра Примеры

$\frac{x^{2} {(x + 1)}^{3}}{(x - 7) {(x + 3)}^{2} (- x^{2} - 1)} \leq 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x^{2} = 0$

${(x + 1)}^{3} = 0$

$x - 7 = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

$- x^{2} - 1 = 0$

Этап 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 3

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 3.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 4

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 5

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 6

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 7

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 8

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 9

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$- x^{2} = 1$

Этап 10

Разделим каждый член $- x^{2} = 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разделим каждый член $- x^{2} = 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 10.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 10.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{- 1}$

Этап 10.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$x^{2} = - 1$

Этап 11

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Этап 12

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i$

Этап 13

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i$

Этап 13.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i$

Этап 13.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i, - i$

Этап 14

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 0$

$x = - 1$

$x = 7$

$x = - 3$

$x = i, - i$

Этап 15

Объединим решения.

$x = 0, - 1, 7, - 3$

Этап 16

Найдем область определения $\frac{x^{2} {(x + 1)}^{3}}{(x - 7) {(x + 3)}^{2} (- x^{2} - 1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2} {(x + 1)}^{3}}{(x - 7) {(x + 3)}^{2} (- x^{2} - 1)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$(x - 7) {(x + 3)}^{2} (- x^{2} - 1) = 0$

Этап 16.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 7 = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

$- x^{2} - 1 = 0$

Этап 16.2.2

Приравняем $x - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.2.1

Приравняем $x - 7$ к $0$ .

$x - 7 = 0$

Этап 16.2.2.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 16.2.3

Приравняем ${(x + 3)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.3.1

Приравняем ${(x + 3)}^{2}$ к $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Этап 16.2.3.2

Решим ${(x + 3)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.3.2.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 16.2.3.2.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 16.2.4

Приравняем $- x^{2} - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.4.1

Приравняем $- x^{2} - 1$ к $0$ .

$- x^{2} - 1 = 0$

Этап 16.2.4.2

Решим $- x^{2} - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$- x^{2} = 1$

Этап 16.2.4.2.2

Разделим каждый член $- x^{2} = 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.4.2.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} = 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 16.2.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.4.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 16.2.4.2.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{- 1}$

Этап 16.2.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.4.2.2.3.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$x^{2} = - 1$

Этап 16.2.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Этап 16.2.4.2.4

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i$

Этап 16.2.4.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.4.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i$

Этап 16.2.4.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i$

Этап 16.2.4.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i, - i$

Этап 16.2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 7) {(x + 3)}^{2} (- x^{2} - 1) = 0$ верно.

$x = 7, - 3, i, - i$

Этап 16.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 7) \cup (7, \infty)$

Этап 17

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 3$

$- 3 < x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$0 < x < 7$

$x > 7$

Этап 18

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Проверим значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 18.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 6)}^{2} {((- 6) + 1)}^{3}}{((- 6) - 7) {((- 6) + 3)}^{2} (- {(- 6)}^{2} - 1)} \leq 0$

Этап 18.1.3

Левая часть $- 1.\overline{039501}$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 18.2

Проверим значение на интервале $- 3 < x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1

Выберем значение на интервале $- 3 < x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 18.2.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 2)}^{2} {((- 2) + 1)}^{3}}{((- 2) - 7) {((- 2) + 3)}^{2} (- {(- 2)}^{2} - 1)} \leq 0$

Этап 18.2.3

Левая часть $- 0.0\overline{8}$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 18.3

Проверим значение на интервале $- 1 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.1

Выберем значение на интервале $- 1 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 0.5$

Этап 18.3.2

Заменим $x$ на $- 0.5$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 0.5)}^{2} {((- 0.5) + 1)}^{3}}{((- 0.5) - 7) {((- 0.5) + 3)}^{2} (- {(- 0.5)}^{2} - 1)} \leq 0$

Этап 18.3.3

Левая часть $0.0005\overline{3}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 18.4

Проверим значение на интервале $0 < x < 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 18.4.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(4)}^{2} {((4) + 1)}^{3}}{((4) - 7) {((4) + 3)}^{2} (- {(4)}^{2} - 1)} \leq 0$

Этап 18.4.3

Левая часть $0.80032012$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 18.5

Проверим значение на интервале $x > 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.5.1

Выберем значение на интервале $x > 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 10$

Этап 18.5.2

Заменим $x$ на $10$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(10)}^{2} {((10) + 1)}^{3}}{((10) - 7) {((10) + 3)}^{2} (- {(10)}^{2} - 1)} \leq 0$

Этап 18.5.3

Левая часть $- 2.599254$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 18.6

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 3$ Истина

$- 3 < x < - 1$ Истина

$- 1 < x < 0$ Ложь

$0 < x < 7$ Ложь

$x > 7$ Истина

$x < - 3$ Истина

$- 3 < x < - 1$ Истина

$- 1 < x < 0$ Ложь

$0 < x < 7$ Ложь

$x > 7$ Истина

Этап 19

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 3$ или $- 3 < x \leq - 1$ или $x > 7$ или $x = 0$

Этап 20

Объединим интервалы.

$x < - 3 or - 3 < x \leq - 1 or x = 0 or x > 7$

Этап 21

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x < - 3 or - 3 < x \leq - 1 or x = 0 or x > 7$

Интервальное представление:

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, - 1] \cup [0, 0] \cup (7, \infty)$

Этап 22