Алгебра Примеры

$f (x) = - \frac{1}{2} \sqrt{x + 3}$ , $x \geq - 3$

Этап 1

Найдем множество значений заданной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

$(- \infty, 0]$

Этап 1.2

Преобразуем $(- \infty, 0]$ в неравенство.

$y \leq 0$

Этап 2

Найдем обратную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поменяем переменные местами.

$x = - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{y + 3}$

Этап 2.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{y + 3} = x$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{y + 3} = x$

Этап 2.2.2

Умножим обе части уравнения на $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{y + 3}) = - 2 x$

Этап 2.2.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Упростим $- 2 (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{y + 3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Объединим $\sqrt{y + 3}$ и $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{y + 3}}{2}) = - 2 x$

Этап 2.2.3.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{y + 3}}{2}$ в числитель.

$- 2 \frac{- \sqrt{y + 3}}{2} = - 2 x$

Этап 2.2.3.1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \sqrt{y + 3}}{2} = - 2 x$

Этап 2.2.3.1.2.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{y + 3}}{2} = - 2 x$

Этап 2.2.3.1.2.4

Перепишем это выражение.

$- - \sqrt{y + 3} = - 2 x$

Этап 2.2.3.1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \sqrt{y + 3} = - 2 x$

Этап 2.2.3.1.3.2

Умножим $\sqrt{y + 3}$ на $1$ .

$\sqrt{y + 3} = - 2 x$

Этап 2.2.4

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{y + 3}}^{2} = {(- 2 x)}^{2}$

Этап 2.2.5

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y + 3}$ в виде ${(y + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 x)}^{2}$

Этап 2.2.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.1

Упростим ${({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 x)}^{2}$

Этап 2.2.5.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(y + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 x)}^{2}$

Этап 2.2.5.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(y + 3)}^{1} = {(- 2 x)}^{2}$

Этап 2.2.5.2.1.2

Упростим.

$y + 3 = {(- 2 x)}^{2}$

Этап 2.2.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1

Упростим ${(- 2 x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.1

Применим правило умножения к $- 2 x$ .

$y + 3 = {(- 2)}^{2} x^{2}$

Этап 2.2.5.3.1.2

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$y + 3 = 4 x^{2}$

Этап 2.2.6

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$y = 4 x^{2} - 3$

Этап 2.3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = 4 x^{2} - 3$

Этап 3

Найдем обратную функцию, используя область определения и множество значений исходной функции.

$f^{- 1} (x) = 4 x^{2} - 3, x \leq 0$

Этап 4