Алгебра Примеры

$(3 x + 10) (2 x^{2} + 1) (2 - x) > 0$

Этап 1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x + 10 = 0$

$2 x^{2} + 1 = 0$

$2 - x = 0$

Этап 2

Приравняем $3 x + 10$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Приравняем $3 x + 10$ к $0$ .

$3 x + 10 = 0$

Этап 2.2

Решим $3 x + 10 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 10$

Этап 2.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 10$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 10$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 10}{3}$

Этап 2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 10}{3}$

Этап 2.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 10}{3}$

Этап 2.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{10}{3}$

Этап 3

Приравняем $2 x^{2} + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $2 x^{2} + 1$ к $0$ .

$2 x^{2} + 1 = 0$

Этап 3.2

Решим $2 x^{2} + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} = - 1$

Этап 3.2.2

Разделим каждый член $2 x^{2} = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разделим каждый член $2 x^{2} = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 3.2.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{2} = - \frac{1}{2}$

Этап 3.2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

Этап 3.2.4

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Перепишем $- \frac{1}{2}$ в виде $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1.1

Перепишем $- 1$ в виде $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

Этап 3.2.4.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

Этап 3.2.4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

Этап 3.2.4.3

Единица в любой степени равна единице.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

Этап 3.2.4.4

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Этап 3.2.4.5

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 3.2.4.6

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Этап 3.2.4.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.7.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 3.2.4.7.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 3.2.4.7.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 3.2.4.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 3.2.4.7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 3.2.4.7.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.7.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.2.4.7.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.2.4.7.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.2.4.7.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.7.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.2.4.7.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 3.2.4.7.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 3.2.4.8

Объединим $i$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Этап 3.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Этап 3.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Этап 3.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Этап 4

Приравняем $2 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $2 - x$ к $0$ .

$2 - x = 0$

Этап 4.2

Решим $2 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 2$

Этап 4.2.2

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 4.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$x = 2$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 x + 10) (2 x^{2} + 1) (2 - x) > 0$ верно.

$x = - \frac{10}{3}, \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}, 2$

Этап 6

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \frac{10}{3}$

$- \frac{10}{3} < x < 2$

$x > 2$

Этап 7

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Проверим значение на интервале $x < - \frac{10}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \frac{10}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 7.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$(3 (- 6) + 10) (2 {(- 6)}^{2} + 1) (2 - (- 6)) > 0$

Этап 7.1.3

Левая часть $- 4672$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 7.2

Проверим значение на интервале $- \frac{10}{3} < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{10}{3} < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 7.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$(3 (0) + 10) (2 {(0)}^{2} + 1) (2 - (0)) > 0$

Этап 7.2.3

Левая часть $20$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 7.3

Проверим значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Выберем значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 7.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$(3 (4) + 10) (2 {(4)}^{2} + 1) (2 - (4)) > 0$

Этап 7.3.3

Левая часть $- 1452$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 7.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \frac{10}{3}$ Ложь

$- \frac{10}{3} < x < 2$ Истина

$x > 2$ Ложь

$x < - \frac{10}{3}$ Ложь

$- \frac{10}{3} < x < 2$ Истина

$x > 2$ Ложь

Этап 8

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- \frac{10}{3} < x < 2$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- \frac{10}{3} < x < 2$

Интервальное представление:

$(- \frac{10}{3}, 2)$

Этап 10