Алгебра Примеры

$\frac{2 x^{2}}{25} + \frac{{(y - 3)}^{2}}{49} = 1$

Этап 1

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{x^{2}}{\frac{25}{2}} + \frac{{(y - 3)}^{2}}{49} = 1$

Этап 2

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = 7$

$b = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

$k = 3$

$h = 0$

Этап 4

Центр эллипса имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(0, 3)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса эллипса, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(7)}^{2} - {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведем $7$ в степень $2$ .

$\sqrt{49 - {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 5.3.2

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Применим правило умножения к $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{49 - \frac{{(5 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}}}$

Этап 5.3.2.2

Применим правило умножения к $5 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{49 - \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Этап 5.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\sqrt{49 - \frac{25 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Этап 5.3.3.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{49 - \frac{25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Этап 5.3.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{49 - \frac{25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Этап 5.3.3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{49 - \frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Этап 5.3.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{49 - \frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Этап 5.3.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{49 - \frac{25 \cdot 2^{1}}{2^{2}}}$

Этап 5.3.3.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{49 - \frac{25 \cdot 2}{2^{2}}}$

Этап 5.3.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{49 - \frac{25 \cdot 2}{4}}$

Этап 5.3.4.2

Умножим $25$ на $2$ .

$\sqrt{49 - \frac{50}{4}}$

Этап 5.3.4.3

Сократим общий множитель $50$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.3.1

Вынесем множитель $2$ из $50$ .

$\sqrt{49 - \frac{2 (25)}{4}}$

Этап 5.3.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\sqrt{49 - \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 2}}$

Этап 5.3.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{49 - \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 2}}$

Этап 5.3.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{49 - \frac{25}{2}}$

Этап 5.3.5

Чтобы записать $49$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{49 \cdot \frac{2}{2} - \frac{25}{2}}$

Этап 5.3.6

Объединим $49$ и $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{49 \cdot 2}{2} - \frac{25}{2}}$

Этап 5.3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{49 \cdot 2 - 25}{2}}$

Этап 5.3.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.1

Умножим $49$ на $2$ .

$\sqrt{\frac{98 - 25}{2}}$

Этап 5.3.8.2

Вычтем $25$ из $98$ .

$\sqrt{\frac{73}{2}}$

Этап 5.3.9

Перепишем $\sqrt{\frac{73}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{73}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{73}}{\sqrt{2}}$

Этап 5.3.10

Умножим $\frac{\sqrt{73}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{73}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 5.3.11

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.11.1

Умножим $\frac{\sqrt{73}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{73} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 5.3.11.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{73} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 5.3.11.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{73} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 5.3.11.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{73} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 5.3.11.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{73} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 5.3.11.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.11.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{73} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.3.11.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{73} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.3.11.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{73} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.11.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.11.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{73} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.11.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{73} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 5.3.11.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{73} \sqrt{2}}{2}$

Этап 5.3.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.12.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{73 \cdot 2}}{2}$

Этап 5.3.12.2

Умножим $73$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{146}}{2}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину эллипса можно найти, добавив $a$ к $k$ .

$(h, k + a)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(0, 3 + 7)$

Этап 6.3

Упростим.

$(0, 10)$

Этап 6.4

Вторую вершину эллипса можно найти путем вычитания $a$ из $k$ .

$(h, k - a)$

Этап 6.5

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(0, 3 - (7))$

Этап 6.6

Упростим.

$(0, - 4)$

Этап 6.7

Эллипсы имеют две вершины.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 10)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 4)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 10)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 4)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус эллипса можно найти, добавив $c$ к $k$ .

$(h, k + c)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(0, 3 + \frac{\sqrt{146}}{2})$

Этап 7.3

Первый фокус эллипса можно найти, вычтя $c$ из $k$ .

$(h, k - c)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(0, 3 - (\frac{\sqrt{146}}{2}))$

Этап 7.5

Упростим.

$(0, 3 - \frac{\sqrt{146}}{2})$

Этап 7.6

Эллипсы имеют два фокуса.

${Focus}_{1}$ : $(0, 3 + \frac{\sqrt{146}}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(0, 3 - \frac{\sqrt{146}}{2})$

${Focus}_{1}$ : $(0, 3 + \frac{\sqrt{146}}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(0, 3 - \frac{\sqrt{146}}{2})$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(7)}^{2} - {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2}}}{7}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Возведем $7$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{49 - {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2}}}{7}$

Этап 8.3.1.2

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.1

Применим правило умножения к $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{49 - \frac{{(5 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}}}}{7}$

Этап 8.3.1.2.2

Применим правило умножения к $5 \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{49 - \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}}{7}$

Этап 8.3.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.3.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{49 - \frac{25 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}}{7}$

Этап 8.3.1.3.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{49 - \frac{25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}}{7}$

Этап 8.3.1.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{49 - \frac{25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}}{7}$

Этап 8.3.1.3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{49 - \frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}}{7}$

Этап 8.3.1.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{49 - \frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}}{7}$

Этап 8.3.1.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{49 - \frac{25 \cdot 2^{1}}{2^{2}}}}{7}$

Этап 8.3.1.3.2.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{49 - \frac{25 \cdot 2}{2^{2}}}}{7}$

Этап 8.3.1.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{49 - \frac{25 \cdot 2}{4}}}{7}$

Этап 8.3.1.5

Умножим $25$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{49 - \frac{50}{4}}}{7}$

Этап 8.3.1.6

Сократим общий множитель $50$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.6.1

Вынесем множитель $2$ из $50$ .

$\frac{\sqrt{49 - \frac{2 (25)}{4}}}{7}$

Этап 8.3.1.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{\sqrt{49 - \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 2}}}{7}$

Этап 8.3.1.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{49 - \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 2}}}{7}$

Этап 8.3.1.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{49 - \frac{25}{2}}}{7}$

Этап 8.3.1.7

Чтобы записать $49$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{49 \cdot \frac{2}{2} - \frac{25}{2}}}{7}$

Этап 8.3.1.8

Объединим $49$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{\frac{49 \cdot 2}{2} - \frac{25}{2}}}{7}$

Этап 8.3.1.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{\frac{49 \cdot 2 - 25}{2}}}{7}$

Этап 8.3.1.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.10.1

Умножим $49$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{\frac{98 - 25}{2}}}{7}$

Этап 8.3.1.10.2

Вычтем $25$ из $98$ .

$\frac{\sqrt{\frac{73}{2}}}{7}$

Этап 8.3.1.11

Перепишем $\sqrt{\frac{73}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{73}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{73}}{\sqrt{2}}}{7}$

Этап 8.3.1.12

Умножим $\frac{\sqrt{73}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{73}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}{7}$

Этап 8.3.1.13

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.13.1

Умножим $\frac{\sqrt{73}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{73} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}}{7}$

Этап 8.3.1.13.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{73} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}}{7}$

Этап 8.3.1.13.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{73} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}}{7}$

Этап 8.3.1.13.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{\sqrt{73} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{7}$

Этап 8.3.1.13.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{73} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}}{7}$

Этап 8.3.1.13.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.13.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{73} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{7}$

Этап 8.3.1.13.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{73} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{7}$

Этап 8.3.1.13.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{73} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}{7}$

Этап 8.3.1.13.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.13.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{\sqrt{73} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}{7}$

Этап 8.3.1.13.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{\sqrt{73} \sqrt{2}}{2^{1}}}{7}$

Этап 8.3.1.13.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\frac{\sqrt{73} \sqrt{2}}{2}}{7}$

Этап 8.3.1.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.14.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\frac{\sqrt{73 \cdot 2}}{2}}{7}$

Этап 8.3.1.14.2

Умножим $73$ на $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{146}}{2}}{7}$

Этап 8.3.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\sqrt{146}}{2} \cdot \frac{1}{7}$

Этап 8.3.3

Умножим $\frac{\sqrt{146}}{2} \cdot \frac{1}{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{146}}{2}$ на $\frac{1}{7}$ .

$\frac{\sqrt{146}}{2 \cdot 7}$

Этап 8.3.3.2

Умножим $2$ на $7$ .

$\frac{\sqrt{146}}{14}$

Этап 9

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа эллипса.

Центр: $(0, 3)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 10)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 4)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 3 + \frac{\sqrt{146}}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(0, 3 - \frac{\sqrt{146}}{2})$

Эксцентриситет: $\frac{\sqrt{146}}{14}$

Этап 10