Алгебра Примеры

$27 - 27 x + 9 x^{2} - x^{3}$

Этап 1

Изменим порядок членов.

$- x^{3} + 9 x^{2} - 27 x + 27$

Этап 2

Разложим $- x^{3} + 9 x^{2} - 27 x + 27$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 27, \pm 3, \pm 9$

$q = \pm 1$

Этап 2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 27, \pm 3, \pm 9$

Этап 2.3

Подставим $3$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $3$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Подставим $3$ в многочлен.

$- 3^{3} + 9 \cdot 3^{2} - 27 \cdot 3 + 27$

Этап 2.3.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$- 1 \cdot 27 + 9 \cdot 3^{2} - 27 \cdot 3 + 27$

Этап 2.3.3

Умножим $- 1$ на $27$ .

$- 27 + 9 \cdot 3^{2} - 27 \cdot 3 + 27$

Этап 2.3.4

Возведем $3$ в степень $2$ .

$- 27 + 9 \cdot 9 - 27 \cdot 3 + 27$

Этап 2.3.5

Умножим $9$ на $9$ .

$- 27 + 81 - 27 \cdot 3 + 27$

Этап 2.3.6

Добавим $- 27$ и $81$ .

$54 - 27 \cdot 3 + 27$

Этап 2.3.7

Умножим $- 27$ на $3$ .

$54 - 81 + 27$

Этап 2.3.8

Вычтем $81$ из $54$ .

$- 27 + 27$

Этап 2.3.9

Добавим $- 27$ и $27$ .

$0$

Этап 2.4

Поскольку $3$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 3$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{- x^{3} + 9 x^{2} - 27 x + 27}{x - 3}$

Этап 2.5

Разделим $- x^{3} + 9 x^{2} - 27 x + 27$ на $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$27 x$

$27$

Этап 2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$27 x$	+	$27$

Этап 2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$27 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Этап 2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{3} + 3 x^{2}$ .

			-	$x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$27 x$	+	$27$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Этап 2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$27 x$	+	$27$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$

Этап 2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$27 x$	+	$27$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$

Этап 2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $6 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$27 x$	+	$27$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$

Этап 2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$27 x$	+	$27$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$

Этап 2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $6 x^{2} - 18 x$ .

			-	$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$27 x$	+	$27$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$18 x$

Этап 2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$27 x$	+	$27$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$18 x$
							-	$9 x$

Этап 2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$27 x$	+	$27$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$18 x$
							-	$9 x$	+	$27$

Этап 2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 9 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$6 x$	-	$9$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$27 x$	+	$27$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$18 x$
							-	$9 x$	+	$27$

Этап 2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$	+	$6 x$	-	$9$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$27 x$	+	$27$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$18 x$
							-	$9 x$	+	$27$
							-	$9 x$	+	$27$

Этап 2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 9 x + 27$ .

			-	$x^{2}$	+	$6 x$	-	$9$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$27 x$	+	$27$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$18 x$
							-	$9 x$	+	$27$
							+	$9 x$	-	$27$

Этап 2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$	+	$6 x$	-	$9$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$27 x$	+	$27$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$18 x$
							-	$9 x$	+	$27$
							+	$9 x$	-	$27$
										$0$

Этап 2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$- x^{2} + 6 x - 9$

Этап 2.6

Запишем $- x^{3} + 9 x^{2} - 27 x + 27$ в виде набора множителей.

$(x - 3) (- x^{2} + 6 x - 9)$

Этап 3

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2} + 6 x - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$(x - 3) (- (x^{2}) + 6 x - 9)$

Этап 3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $6 x$ .

$(x - 3) (- (x^{2}) - (- 6 x) - 9)$

Этап 3.3

Перепишем $- 9$ в виде $- 1 (9)$ .

$(x - 3) (- (x^{2}) - (- 6 x) - 1 (9))$

Этап 3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (- 6 x)$ .

$(x - 3) (- (x^{2} - 6 x) - 1 (9))$

Этап 3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} - 6 x) - 1 (9)$ .

$(x - 3) (- (x^{2} - 6 x + 9))$

Этап 4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$(x - 3) (- (x^{2} - 6 x + 3^{2}))$

Этап 4.1.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Этап 4.1.3

Перепишем многочлен.

$(x - 3) (- (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}))$

Этап 4.1.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$(x - 3) (- {(x - 3)}^{2})$

Этап 4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 3) \cdot - 1 {(x - 3)}^{2}$

Этап 5

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$- ((x - 3) {(x - 3)}^{2})$

Этап 5.2

Умножим $x - 3$ на ${(x - 3)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $x - 3$ на ${(x - 3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $x - 3$ в степень $1$ .

$- ({(x - 3)}^{1} {(x - 3)}^{2})$

Этап 5.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- {(x - 3)}^{1 + 2}$

Этап 5.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$- {(x - 3)}^{3}$